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1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B$ ），过点 $B$ 作 $B E$ 垂直于射线 $C D$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $C D$ 上，且 $E F = B E$ ，连接 $A F$ 、 $B F$ ，

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ C B E$ ；

(2)、如图2，连接 $A E$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $A C$ 、 $A E$ 、 $E F$ 的中点，连接 $P M$ 、 $M N$ 、 $P N$ ．求 $∠ P M N$ 的度数及 $\frac{M N}{P M}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，直接写出 $△ P M N$ 面积的最大值．

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2、已知矩形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上一点，连接 $A E ， B E ， F$ 为 $E B$ 上一点，且 $E F ＝ E D$ ．

(1)、如图①，作 $⊙ O$ ，满足圆心O在 $A B$ 上，且 $⊙ O$ 经过点 $A ， F$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下，如图②，若点B在 $⊙ O$ 上，求证： $B A = B E$ ．

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3、某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
落在20元购物券区域的次数 $m$
落在20元购物券区域的频率 $\frac{m}{n}$ （结果保留小数点后两位）
25
9
$0.36$
50
$a$
$0.42$
75
32
$0.43$
100
40
$0.40$
125
47
$0.38$
150
59
$0.39$
请根据上面的图表完成以下问题：

(1)、 $a =$ ；

(2)、当转动次数增加到足够大时，落在 $20$ 元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在 $20$ 元购物券区域的概率是（结果保留小数点后一位）；

(3)、小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了 $500$ 元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现： $20$ 元购物券、 $30$ 元购物券、 $40$ 元购物券、 $50$ 元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是 $4 : 3 : 2 : 1$ ，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．

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4、已知分式 $M = (1 - \frac{1}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - a}$ ．

(1)、化简分式 $M$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + a - 2 = 0$ 有两个实数根，且 $a$ 为正整数，求分式的 $M$ 值．

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5、如图，点 $E$ ， $F$ 分别在四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D$ 的延长线上，连接 $E F$ ，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $G$ ， $H$ ， $A B ∥ C D$ ， $A E = C F$ ， $E H = F G$ ．求证： $△ A E G ≌ △ C F H$ ．

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6、解二元一次方程组： ${\begin{array}{l} x + y = 5 \\ 2 x - y = 4 \end{array}$ ．

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7、若直线 $y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 的交点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}$ 的值为．

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8、若 $α 、 β$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 28 = 0$ 的两个实数根，则 $α^{2} + 4 α + β$ 的值为．

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9、如图，正五边形 $A B C D E$ 的边长为10，点 $B$ 、 $E$ 在 $⊙ A$ 上，则 $\overset{⌢}{B E}$ 的长是．

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10、把平面直角坐标系上一点 $A (1, n)$ 向上平移3个单位，这时它恰好在 $x$ 轴的正半轴上，则 $n =$ ．

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11、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像与x轴交于点 $A (3,0)$ ，与y轴交于点B，对称轴为直线 $x = 1$ ，有下列四个结论：① $4 a - 2 b + c > 0$ ；② $3 a + 2 c > 0$ ；③ $a x^{2} + b x \geq a + b$ ；④若 $- 3 < c < - 2$ ，则 $- 4 < a + b + c < - \frac{8}{3}$ ；下列选项正确的是（）

A、②④ B、①③ C、①③④ D、①②③

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12、如图所示，在矩形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 上一点， $E F ⊥ C E$ 交 $A B$ 于点F，若 $D E = 2$ ，矩形 $A B C D$ 的周长为16，且 $C E = E F$ ，则 $B F$ 的长（）

A、1 B、 $1.5$ C、2 D、 $2.5$

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13、我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 10 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x - 5 y = 8 \end{array}$

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14、如图为商场某品牌椅子的侧面图， $∠ D E F = 120 °$ ， $D E$ 与地面平行， $∠ A B D = 50 °$ ，则 $∠ A C B =$ （）

A、70° B、65° C、60° D、50°

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15、汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线 $O A$ 会主动转至 $O B$ ，转动的角度 $∠ A O B = α$ ，若 $O A$ 的长为 $m$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $m t a n α$ B、 $\frac{m}{t a n α}$ C、 $m s i n α$ D、 $\frac{m}{c o s α}$

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16、已知 $a < b$ ，则下列不等式不正确的是（）

A、 $a - 1 < b - 1$ B、 $a + m < b + m$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $a c > b c$

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17、下列计算正确的是（）

A、 ${(- a^{3})}^{2} = - a^{6}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $- 3 a - 2 a = - a$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a (a \neq 0)$

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18、下面立体图形中，从正面、侧面、上面看，都不能看到长方形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、每年6月，学校的池塘里开满了荷花，荷花又名“水芙蓉”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（）

A、 $8.3 \times 1 0^{- 6}$ B、 $8.3 \times 1 0^{- 5}$ C、 $8.3 \times 1 0^{- 4}$ D、 $8.3 \times 1 0^{- 3}$

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20、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上一动点，将线段 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ A C F$ ；

(2)、若 $△ C E F$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ ， $C P = 3$ ，求 $A P$ 的长；

(3)、设 $A B = m$ ，求 $\frac{C P}{A P}$ 的最大值（用含 $m$ 的式子表示）．

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转动转盘的次数n	落在20元购物券区域的次数 $m$	落在20元购物券区域的频率 $\frac{m}{n}$ （结果保留小数点后两位）
25	9	$0.36$
50	$a$	$0.42$
75	32	$0.43$
100	40	$0.40$
125	47	$0.38$
150	59	$0.39$