相关试卷

1、若分式 $\frac{1}{x + 1} \div \frac{x - 3}{x - 2}$ 有意义，则x的取值范围是（　　）

A、x≠﹣1且x≠2 B、x≠﹣1且x≠3 C、x≠2且x≠3 D、x≠﹣1且x≠2且x≠3

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2、李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（如图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（①处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（　　）
李白醇酒
李白街上走，揭壶去买酒．
遇店加一倍，见花喝一斗．
三遇店和花^① ，喝光壶中酒．
试问壶中原有酒几斗？

A、1斗 B、 $\frac{7}{8}$ 斗 C、 $\frac{3}{4}$ 斗 D、 $\frac{5}{8}$ 斗

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3、已知：如图，AB∥OD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（　　）

A、36° B、34° C、26° D、24°

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4、某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：h）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．
则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A、5，6 B、5，7 C、6，6 D、6，7

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5、党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　）

A、8.16×10¹¹ B、81.6×10¹¹ C、0.816×10¹¹ D、8.16×10¹²

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6、如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7、下列四个实数中，比﹣2大的无理数是（　　）

A、0 B、﹣1 C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{5}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 9 0^{\circ},$ ， P 为直线AB上一点，连接PC，将 PC绕点 P顺时针旋转 $9 0^{\circ}$ 得到 PD，连接BD.

(1)、当点 P 在线段AB上时，如图1，求证： $B C - B D = \sqrt{2} B P;$

(2)、当点P在BA的延长线上时，如图2，线段BC，BD，BP之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3)、当点P 在AB 的延长线上时，如图3，直接写出线段BC，BD，BP 之间的数量关系.

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9、阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 $∠ A B C, ∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ},$ 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.

(1)、结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；

(2)、问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 $∠ D A C = 6 0^{\circ}$ 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, D A = D C,$ ，过点D作 $D E ⟂ B C,$ 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.

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10、已知方程组 ${\begin{matrix} x - y = 2 \\ m x + y = 6 \end{matrix}$ 有非负整数解，则正整数m的值有个.

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11、已知P为等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 1, P B = 2, ∠ A P B = 15 0^{\circ},$ 则 $P C =$ .

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12、如图，在三角形ABC中，点D在边BC上，BD=3CD，G为AD中点，B G延长线交AC于点E，则 $\frac{B G}{G E} =$ .

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13、如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}, ∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，过C作BD的垂直线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.若CE=5，则BD =.

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14、 M是 $△ A B C$ 的边BC的中点， AN平分∠BAC， BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则 $△ A B C$ 的周长等于.

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15、【综合探究】
探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验．

(1)、【操作探究】
如图1，把重合中的 $▵ A B C$ 向左平移成 $▵ D E F$ ，顶点 $E$ 恰好是 $B C$ 边的中点，连接 $A F$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求三角形 $A C F$ 的面积；

(2)、【深入探究】
如图 $2$ ，把 $▵ D E F$ 继续向左平移，当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，连接 $A F$ 交 $D C$ 于点 $G$ ，求证： $D G = C G$ ；

(3)、【拓展提升】
如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，过点 $D$ 作 $D Q ⊥ A F$ 于点 $Q$ ，连 $C Q$ ， $D Q = 2$ ，直接写出 $C Q$ 的长度．

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16、【阅读材料】
我们知道，多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 可以因式分解为 $(a + b)^{2} .$ 当一个二次三项式 $($ 如 $a^{2} + 6 a + 8)$ 不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
$a^{2} + 6 a + 8 = (a^{2} + 6 a + 9) - 9 + 8$
$= (a + 3)^{2} - 1$
$= [(a + 3) + 1] [(a + 3) - 1]$
$= (a + 4) (a + 2)$ ．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：

(1)、填空：
$a^{2} - 2 a - 3 = (a^{2} - 2 a +$ $①) -$ $② - 3$
$= (a - 1)^{2} - 4 = [(a - 1) + 2] [(a - 1) - 2]$
$= (a + 1) (a - 3)$ ．
$a^{2} - 6 a + 5 = a^{2} - 6 a +$ $③ -$ $④ + 5 = {(a - 3)}^{2} - 4 = (a - 1) (a - 5)$ ．

(2)、将下列各式因式分解：
$① a^{2} - 4 a + 3$ ；
$② x^{2} - 2 n x + n^{2} - 4$ ．

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17、如图，在平面直角坐标系中， $▵ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3,4)$ ， $B (4,1)$ ， $C (1,2)$ ．

(1)、将 $▵ A B C$ 先向左平移 $4$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，得到 $▵ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点A，B，C的对应点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，请在图中画出 $▵ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $▵ A B C$ 绕点 $(0,0)$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到图形 $▵ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，其中点A，B，C的对应点分别是 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，请在图中画出 $▵ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、观察线段 $B_{1} C_{1}$ 和线段 $B_{2} C_{2}$ ，它们所在直线的位置关系为．

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18、小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值： $x - 2 - \frac{x (x + 4)}{x - 2}$ ，其中 $- 1 < x < 3$ ，任选一个合适的整数作为 $x$ 的值代入．
解：原式 $= \frac{{(x - 2)}^{2}}{x - 2} - \frac{x (x + 4)}{x - 2} ①$
$= \frac{x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 2} ②$
$= \frac{4}{x - 2} ③$
当 $x = 1$ 时，原式 $= \frac{4}{1 - 2} = - 4 ④$
请帮助小坪找出错误步骤 $($ 一步即可 $)$ ，并写出正确的解答过程．

(1)、小坪在第步出错，错误原因是．

(2)、请在下方写出正确解答过程．

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19、

(1)、解不等式 $2 x - 5 < 7$

(2)、解不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 < 3 x \\ \frac{x}{2} + 1 \leq 4 - x \end{array}$ ，并在数轴上表示其解集．

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20、如图7，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起， $∠ A = ∠ F = 30^{\circ} .$ 若 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $C E$ 的长度为．

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