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1、“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．即“如图，已知 $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ， $M$ 是 $A B$ 上一点， $C M = D M$ ， $A C = 30$ ， $B D = 20$ ，在 $C$ 处测得点 $M$ 的俯角为 $60 °$ ，那么 $A B =$ ． ”

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2、若某圆内接正六边形的边心距为 $2 \sqrt{3} c m$ ，则这个正六边形的面积为 $c m^{2}$ ．

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3、如果 $a + b = 3$ ， $a^{2} - b^{2} = 12$ ，那么 $a - b =$ ．

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4、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $G$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出四种情况：①若 $G$ 为 $B D$ 的中点，则四边形 $C E G F$ 是正方形；②点 $G$ 在运动过程中，始终满足 $∠ G A D = ∠ G F E$ ；③点 $G$ 在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值1；④点 $G$ 在运动过程中，线段 $E F$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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5、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 1}{2} \leq x + 2 \\ x + 1 \geq - x + a \end{array}$ 至少有两个正整数解，且关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$ 的解为正整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为（）

A、8 B、14 C、18 D、38

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6、如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，小明用尺规作图画了 $B E$ 和 $C F$ 交于点 $O$ ，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算 $\frac{O E}{O B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7、我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 即 $x (x + 2) = 35$ 为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 35 + 2^{2}$ ，因此 $x = 5$ ，在下面四个选项中，能正确说明方程 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ 解法的构图是（）

A、 B、 C、 D、

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8、蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的进步和发展，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧时的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何体组合．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元 $/ m^{2}$ ，则买油毡纸要花费的费用至少为（）

A、8.4元 B、17元 C、34元 D、50元

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9、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (a + 1, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 0$ D、 $- 1 < a < 0$

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10、折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、设计精巧，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成．图1为折叠电动车实物图，图2为设计示意图， $A B$ 、 $C D$ 为支架， $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 为车轮，点 $O_{2}$ 、 $B$ 、 $E$ 共线．已知， $C D ∥ B E$ ， $∠ O_{1} A C = 135 °$ ， $∠ A D C = 50 °$ ，则 $∠ A B O_{2}$ 度数是（）

A、 $85 °$ B、 $92 °$ C、 $95 °$ D、 $105 °$

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11、“ $D e e p S e e k$ ”是中国深度求索公司研发的高性能 $A I$ 语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，“ $D e e p S e e k$ ”全球月活跃用户数量突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列表示正确的是（）

A、 $46.2 \times 1 0^{6}$ B、 $4.6 \times 1 0^{7}$ C、 $46 \times 1 0^{6}$ D、 $4.62 \times 1 0^{7}$

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12、下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(- a - b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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13、下列各数中，比-1小的数是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知：如图， $E F$ ∥ $C D ， G D$ ∥ $C A ．$

(1)、求证： $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ；

(2)、若 $C D$ 平分 $∠ A C B ， D G$ 平分 $∠ C D B$ ，且 $∠ A = 36 °$ ，求 $∠ A C B$ 的度数．

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15、阅读下列材料：
∵ $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ ，即 $： 1 < \sqrt{3} < 2$ ；
∴ $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ ．
请根据材料提示，进行解答：

(1)、 $\sqrt{14}$ 的整数部分是，小数部分是；

(2)、若 $10 + \sqrt{33} = a + b$ ，其中：a是整数， $0 < b < 1$ ．求 $2 a + b$ 的值．

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16、把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．
已知：如图， $A D$ ∥ $B E$ ， $∠ A = ∠ E$ ，
求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $A D$ ∥ $B E$ （已知），
∴ $∠ A +$ $= 180 °$ ．
∵ $∠ A = ∠ E$ （已知），
∴ $∠ E$ += ．
∴ $D E$ ∥ $A C$ ．
∴ $∠ 1 =$ ．

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17、如图，三角形ABC的顶点A在原点，B，C的坐标分别为B(3，0)，C(2，2)，将三角形ABC向左平移1个单位后，再向下平移2个单位，可得到三角形 $A' B' C'$ ．

(1)、画出平移后的三角形 $A' B' C'$ ；

(2)、分别写出点 $A^{'} ， B^{'} ， C'$ 的坐标；

(3)、在x轴上是否存在点P，使三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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18、如图，直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O P$ 是 $∠ A O C$ 的平分线， $O E ⊥ A B$ ， $O F ⊥ C D$ ．

(1)、如果 $∠ B O C = 42^{\circ}$ ，求 $∠ A O F$ 的度数；

(2)、求证： $∠ E O P = \frac{1}{2} ∠ B O C$ ．

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19、

(1)、计算： $\sqrt{{(- 3)}^{2}} - |\sqrt{3} - 2| + \sqrt[3]{- 27} + \sqrt{4}$ ；

(2)、求x的值： $2 {(x - 1)}^{2} = 8$ ．

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20、如图，在平面直角坐标系中，连接各点的坐标依次为： $A_{1} (0 ， 0)$ ， $A_{2} (1 ， 1)$ ， $A_{3} (2 ， 0)$ ， $A_{4} (0 ， - 2)$ ， $A_{5} (- 2 ， 0)$ ， $A_{6} (1 ， 3)$ ， $A_{7} (4 ， 0)$ ， $A_{8} (0 ， - 4)$ ， $A_{9} (- 4 ， 0)$ ， $A_{10} (1 ， 5)$ ， $A_{11} (6 ， 0)$ ， ……，依照图中所示规律，点 $A_{2026}$ 的坐标为．

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