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1、如图， $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $B C$ 边的垂直平分线交 $A B$ 边于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ A B$ 于点 $A$ ，交 $D E$ 延长线于点 $F$ ，且 $B E = E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、求证： $B C = 2 A F$ ；

(2)、若 $∠ B = 20 °$ ，求 $∠ D F C$ 的度数．

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2、因式分解：

(1)、 $4 a^{2} - b^{2}$ ；

(2)、 $3 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 3 x y^{3}$ ；

(3)、 ${(x + y)}^{2} - 8 (x^{2} - y^{2}) + 16 {(x - y)}^{2}$ ．

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3、解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来：

(1)、 $3 (2 x - 1) > 4 x + 1$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) - 3 \geq - 3 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > - 1 \end{array}$ ．

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4、如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10 cm，CB₁⊥AB，B₁C₁⊥AC₁ ，垂足分别是B₁、C₁ ，那么B₁C₁=cm．

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5、关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - a < 0 \\ \frac{7 - 6 x}{2} \leq 8 \end{array}$ 有实数解，则 $a$ 的取值范围是．

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6、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 6$ ， $x - y = 10$ ，则 $3 x^{2} - 3 y^{2} =$ ．

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7、在平面直角坐标系中，将点 $A (3, - 3)$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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8、如图，把正方形铁片 $O A B C$ 置于平面直角坐标系中，顶点 $A$ 的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $P (2, 3)$ 在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 $90 °$ ，第一次旋转至图 $①$ 位置，第二次旋转至图 $②$ 位置， $\dots$ ，则正方形铁片连续旋转 $21$ 次后，点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(82, 3)$ B、 $(87, 2)$ C、 $(90, 1)$ D、 $(2026, 2)$

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9、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x + 6}{5} > \frac{x}{4} + 1 \\ x + m < 0 \end{array}$ 的解集为 $x < 4$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m = - 4$ B、 $m = 4$ C、 $m \geq 4$ D、 $m \leq - 4$

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10、如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 4)$ ，则一元一次不等式 $k x + b < 4$ 的解集为（）

A、 $x < 4$ B、 $x > 4$ C、 $x < - 2$ D、 $x > - 2$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $B C$ 上一点， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3 = ∠ 4$ ， $∠ B A C = 108 °$ ，则 $∠ D A C$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $82 °$ C、 $84 °$ D、 $86 °$

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12、下列判断不正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a + 6 > b + 6$ B、若 $a > b$ ，则 $- 2 a < - 2 b$ C、若 $a \leq b$ ，则 $a c \leq b c$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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13、如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 $A B = A C$ ，立柱 $A D ⊥ B C$ ，已知 $△ A B C$ 的周长为 $38 cm$ ， $A B$ 长为 $10 cm$ ，则 $B D$ 的长为（）.

A、 $6 cm$ B、 $7 cm$ C、 $8 cm$ D、 $9 cm$

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14、下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0)$ ， $B (\frac{4}{3}, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $D$ 为抛物线上一点， $A D$ 平分 $∠ C A B$ ， $A D$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、求点 $D$ 坐标；

(3)、在直线 $A C$ 上取 $E 、 F$ 两点（ $F$ 在 $E$ 点上方），连接 $M E, M F$ ，使得 $△ E F M ∽ △ A B C$ ，求 $E 、 F$ 坐标．

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16、如图， $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $F$ ， $C E$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = C D = 3 A F = 3$ ， $C E$ 与 $A B$ 、 $B D$ 分别交于 $M$ 、 $G$ ．

(1)、证明： $A F = C F$ ；

(2)、求 $\cos ∠ D B E$ 的值；

(3)、求 $M F$ 的长度．

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17、如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，函数 $y = \frac{1}{3} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限中的图象交于点A， $O A = \sqrt{10}$ ，点 $C$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上位于 $A$ 点上方的一点，直线 $A C$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于D，E两点．

(1)、求反比例函数解析式；

(2)、若 $A C = 2 A D$ ，求点 $E$ 坐标．

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18、如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B 、 B C$ 上的点， $D E ⊥ A F$ ，垂足为 $H$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于 $M$ ， $A F$ 与 $B D$ 交于 $N$ ．

(1)、求证： $A E = B F$ ；

(2)、若正方形边长为6， $A M = 2 \sqrt{2}$ ，求 $D M$ 的长度．

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19、联合国教科文组织设定每年4月23日是“世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣．在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了100名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别
阅读时长（分钟）
频数（人数）
第1组
$10 \leq x < 20$
5
第2组
$20 \leq x < 30$
a
第3组
$30 \leq x < 40$
35
第4组
$40 \leq x < 50$
20
第5组
$50 \leq x < 60$
15

(1)、请直接写出 $a =$ _____， $m =$ _____，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是____度；

(2)、请补全上面的频数分布直方图；

(3)、若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少？

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20、按要求完成下列各题：

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + \frac{\sqrt{12}}{2} - |1 - \sin 60 °| + \frac{1}{\sqrt{3}}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(a - \frac{4}{a}) \div \frac{a - 2}{a^{2}}$ ，其中 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

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组别	阅读时长（分钟）	频数（人数）
第1组	$10 \leq x < 20$	5
第2组	$20 \leq x < 30$	a
第3组	$30 \leq x < 40$	35
第4组	$40 \leq x < 50$	20
第5组	$50 \leq x < 60$	15