相关试卷

1、
轴对称变换是现实世界运动变化的三种常见形式之一，在数学活动课上，同学们研究利用轴对称变换探究图形中线段的数量关系．
【初步感知】
（1）如图1，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 2 ∠ C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，求证： $A B + A D = B C$ ．
①如图2，小明同学想到了翻折 $△ A D B$ ，给出如下解题思路：在 $B C$ 上截取 $B M = A B$ ，连接 $D M$ ；
②如图3，小丽同学想到了翻折 $△ C D B$ ，给出了如下解题思路：延长线段 $B A$ 到点N，使 $B N = B C$ ，连接 $N D$ ；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【深入探究】
（2）如图4， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，平面内有点D（点D和点A在 $B C$ 的同侧），连接 $D C$ ， $D B$ ， $∠ D = 45 °$ ， $∠ A B D = 2 ∠ A C B$ ．求证： $B D + A B = \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ；
【拓展延伸】
（3）如图5，在（2）的条件下，若 $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $A B = 1$ ，请求出线段 $A C$ 的长度．

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2、如图1，直线 $y = - x + 6$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $C$ 和点 $B$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴，且 $O B = 2 O A$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的解析式；

(2)、 $P$ 为线段 $A B$ 上一个动点，若 $S_{△ A B C} = 3 S_{△ B C P}$ ，求此时点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $M$ 是 $B C$ 的中点， $N$ 为直线 $A B$ 上的一个动点，连接 $M N$ ，若 $∠ B N M = 45 °$ ，求 $N$ 点的坐标．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $∠ O A B = 90 °$ ， $A O = A B$ ， B的坐标为 $(2, 0)$ ，点A在第一象限内，将 $△ O A B$ 沿 $O$ 到A的方向平移6个单位至 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 的位置，则点 $B^{'}$ 的坐标为．

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4、如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - x + 4$ 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数 $y = \frac{1}{3} x + b$ 的图象交于点 $C (- 2, m)$ ．

(1)、求 $m$ 和 $b$ 的值；

(2)、函数 $y = \frac{1}{3} x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $E$ 从点 $D$ 出发沿 $D A$ 方向，以每秒 $2$ 个单位长度匀速运动到点 $A ($ 到 $A$ 停止运动 $)$ ，设点 $E$ 的运动时间为 $t$ 秒，在点 $E$ 运动过程中，使 $△ A C E$ 中 $A E = E C$ 的等腰三角形？求 $t$ 的值请说明理由．

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5、2025年9月3日上午，在北京天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会．此次阅兵活动后放飞气球是由北京警察学院的学生负责的．若两名学生为一组，负责 $450$ 个气球的吹制与结绳，平均 $7$ 到 $8$ 秒完成一个．每组完成这些花费的时间为 $x$ 分，则 $x$ 的取值范围为．

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6、如图，将长为 $6 cm$ ，宽为 $4 cm$ 的长方形ABCD先向右平移 $2 cm$ ，再向下平移 $1 cm$ ，得到长方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则阴影部分的面积为（） ${cm}^{2}$

A、10 B、12 C、18 D、24

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7、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $a^{2} - 16 b^{2} = (a + 4 b) (a - 4 b)$ B、 $m (m n - 1) = m^{2} n - m$ C、 $y^{2} - 2 y - 1 = y (y - 2)$ D、 $- 12 x^{3} y = - 3 x^{2} \cdot 4 y$

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8、小晨所在数学兴趣小组开展实践活动，记录如下：

项目	测量建筑物 $A B$ 的高度
工具	卷尺，测角仪等
测量示意图
测量数据	$∠ A E F = 30 °, ∠ A C B = 58 °, C G = 10 m$ ， $E G = 30 m$
说明	水平地面 $E F$ 上方有一水平的平台 $C D$ ， $A B ⊥ C D$ ，所有点均在同一竖直平面内
问题	求出建筑物 $A B$ 的高度．（结果保留两位小数；参考数据： $sin 58 ° \approx 0.85, cos 58 ° \approx 0.53,$ $tan 58 ° \approx 1.6, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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9、2026年4月23日是第31个世界读书日，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用 $t$ 表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按 $0 \leq t < 2$ ， $2 \leq t < 3$ ， $3 \leq t < 4$ ， $t \geq 4$ 分为四个等级，并依次用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、求本次调查的学生人数；

(2)、求扇形统计图中等级 $B$ 所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

(3)、甲、乙、丙三位同学都是 $D$ 等级的同学，现从他们3人中选2人参加读书分享，请用画树状图或列表法表示所有可能情况，并求甲、乙两人同时被选中的概率．

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10、计算及解方程：

(1)、 $- 1^{- 2026} + \sqrt{6} \times \sqrt{8} + {(π - 3)}^{0} - 2 \cos 60 °$ ；

(2)、 $\frac{2 x}{x - 2} - \frac{1}{2 - x} = 1$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $C D = \frac{1}{3}$ ， $∠ C = 90 °$ ， P是直线 $A B$ 上方的一个动点，且 $∠ A P B = 135 °$ ，则 $6 P D + P A$ 的最小值为．

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12、已知a、b是整数， $2 a + 5 = 4 b + 7$ ；且 $2 a + 5 > 16$ ， $4 b + 7 < 21$ ， $m = 2 a - 3 b$ ，则m的值是．

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13、若 $α, β$ 是方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两个根，则 $α^{2} - 4 α - β$ 的值为．

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14、如图，锐角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值是（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、5

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15、如图，正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在 $C D 、 B C$ 上， $B C = 4 F C$ ，连接 $A F 、 A E 、 E F$ ，若 $∠ E A F = 45 °$ ，则 $\frac{E F}{C F}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{25}{7}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\frac{24}{7}$

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16、如图，在菱形 $A O B C$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ，点A在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 的图象上，点B在x 轴的正半轴上，点C在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则k的值为（）

A、 $- 3 \sqrt{3}$ B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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17、如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段 $A B$ 的一侧取点C作 $△ A B C$ ．并延长 $C A$ 至D，使 $D A = C A$ ；延长 $C B$ 至E，使 $E B = C B$ ．连接 $D E$ ，若 $D E = 18 m$ ，则（）

A、 $A B = 8 m$ B、 $A B = 9 m$ C、 $A B = 10 m$ D、 $A B = 12 m$

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18、下列说法正确的是（）

A、一组数据 $2$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ，这组数据的中位数是 $2$ B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查 C、小明的三次数学成绩是 $86$ 分， $96$ 分， $90$ 分，则小明这三次成绩的平均数是 $90$ 分 D、甲、乙两人射中环数的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 2$ ， $S_{乙}^{2} = 3$ ，说明甲的射击成绩比乙好

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19、下列各数中最小的是（）

A、 $- 2$ B、 $1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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20、已知：如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 30$ ， $B C = 40$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，点E是点D关于 $A C$ 的对称点，连接 $A E$ ， $C E$ ．

(1)、求 $C E$ 和 $A E$ 的长；

(2)、若将 $△ A C E$ 沿着射线 $A B$ 方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿 $A B$ 方向所经过的线段长度），当点E平移到线段 $A C$ 上时，求m的值；

(3)、如图，将 $△ A C E$ 绕点A顺时针旋转一个角 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，记旋转中的 $△ A C E$ 为 $△ A C^{'} E^{'}$ ，在旋转过程中，设 $C^{'} E^{'}$ 所在的直线与直线 $B C$ 交于点P，与直线 $A B$ 交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使 $△ B P Q$ 为等腰三角形，直接写出此时 $B Q$ 的长；若不存在，请说明理由．

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