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1、如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下：
①如图，以点 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $O A$ ， $O B$ 于点 $C$ ， $D$ ；
②画射线 $O^{'} A^{'}$ ，以 $O^{'}$ 为圆心， $O C$ 长为半径画弧，交 $O^{'} A^{'}$ 于点 $C^{'}$ ；
③以 $C^{'}$ 为圆心， $C D$ 长为半径画弧，与上一步所画弧交于点 $D^{'}$ ；
④过点 $D^{'}$ 画射线 $O^{'} B^{'}$ ，则 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ ．
从作图过程中，能判定 $△ C O D ≌ △ C^{'} O^{'} D^{'}$ 的依据是（）

A、 $ASA$ B、 $SAS$ C、 $AAS$ D、 $SSS$

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2、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意是：粮仓开仓收粮，有人送来谷米 $1200$ 石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得 $200$ 粒，其中夹有谷粒 $20$ 粒，假定谷米中谷粒按数量的比例与其按体积的比例相等，则这批谷米内夹有谷粒约为（）

A、 $20$ 石 B、 $120$ 石 C、 $200$ 石 D、 $300$ 石

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3、如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ B、 $2 a + 4 b = 8 a b$ C、 ${(3 a)}^{3} = 9 a^{3}$ D、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$

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5、下列分式中，最简分式是（）

A、 $\frac{8 m}{4 n p}$ B、 $\frac{m + 3}{m^{2} - 9}$ C、 $\frac{m}{7 - m}$ D、 $\frac{4 m}{16 m n^{2}}$

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6、下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（）

A、 $3, 7, 2$ B、 $3, 3, 8$ C、 $6, 6, 6$ D、 $5, 7, 12$

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7、蚕丝是人类最早利用的动物纤维之一，其截面圆的直径约为0.000018m．数据0.000018用科学记数法表示为（）

A、 $18 \times 10^{- 6}$ B、 $1.8 \times 10^{- 5}$ C、 $0.18 \times 10^{- 4}$ D、 $1.8 \times 10^{- 4}$

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8、下列“最美播州”四个字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)、发现问题：如图①，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接 $B E ， C F$ ．直接写出 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系是：______；

(2)、类比探究：如图②，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接 $B E ， C F$ 请猜想 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图③， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接 $B E 、 C F$ ，且点B、E、F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为M．请直接写出 $B F 、 C F 、 A M$ 之间的数量关系．

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10、“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若 $x y = 2$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ______．
【知识迁移】
（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9， $△ C D G$ 的面积为3，求CE的长度．

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11、阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： $a x + a y + b x + b y$
解：原式 $= (a x + a y) + (b x + b y)$
$= a (x + y) + b (x + y)$
$= (a + b) (x + y)$
例2：“三一分组”： $2 x y + x^{2} - 1 + y^{2}$
解：原式 $= (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 1$
$= {(x + y)}^{2} - 1 = (x + y + 1) (x + y - 1)$
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

(1)、分解因式：
① $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$ ；
② $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$ ．

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边a，b，c满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c = 0$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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12、某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运 $30 kg$ 材料，且A型机器人搬运 $1200 kg$ 材料所用的时间与B型机器人搬运 $1000 kg$ 材料所用的时间相同．

(1)、求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)、该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于 $3200 kg$ ，则至少购进A型机器人多少台？

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13、如图，点A、D、B、E在同一条直线上， $A D = B E$ ， $A C = D F$ ，

(1)、从下列条件中选择一个作为已知条件：① $B C = E F$ ；② $B C ∥ E F$ ；③ $∠ A = ∠ E D F$ ；求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ A = 55 °$ ， $∠ E = 45 °$ ，求 $∠ F$ 的度数．

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14、先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程 $\frac{2 x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$ ．
解：方程两边乘 $(x - 2)$ ，得 $2 x - 1 = - 3$ ， …第①步
移项，得 $2 x = - 3 + 1$ ，．．．第②步
合并同类项、系数化为1，得 $x = - 1$ ， …第③步
…

(1)、以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____；

(2)、请写出正确的解答过程．

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15、已知 $3^{a} = 4$ ， $3^{b} = 10$ ， $3^{c} = 8$ ．

(1)、求 $3^{a + c}$ 的值；

(2)、求 $3^{2 b - a}$ 的值．

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16、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, 3)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积．

(2)、作 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(3)、在y轴上找一点P，使得 $P A + P C$ 的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．

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17、按要求完成下列各题：

(1)、计算： $- 1^{2026} - 2^{- 3} \times 8 + {(π - 3.14)}^{0} - |- 1|$ ；

(2)、先化简代数式 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{a + 1})$ ，再选择一个你喜欢的a的值代入求值．

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18、如图，P为等边三角形 $A B C$ 外一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．已知 $P A = 5$ ， $P C = 3$ ， O为 $P B$ 的中点，则 $O B$ 的最大值为．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点O为三角形的重心，D为 $O C$ 中点，若 $△ A B C$ 的面积为24，则 $△ B O D$ 的面积是．

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20、两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当 $a = 3$ 时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式．

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