相关试卷

1、已知 $x = 2$ 是方程 $2 x + m + 4 = 0$ 的解，则m的值为（）

A、8 B、 $- 8$ C、0 D、2

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2、下列等式中是一元一次方程的是（）

A、 $\frac{x}{3} + 5 = - 7$ B、 $6 x + \frac{1}{x} = 9$ C、 $x + 7 y = 2$ D、 $x^{2} - 18 = 25 x$

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3、按要求解答问题：

(1)、【初步探究】
如图1，已知 $△ A B C 、 △ C E F$ 是等腰直角三角形，将 $△ C E F$ 的 $45 °$ 角的顶点与 $C$ 重合，将三角板 $C E F$ 绕点 $C$ 转动， $C F$ 交 $A B$ 于M， $C E$ 交 $A B$ 于 $N$ ．若 $A C = A M$ ，则 $B C$ 与 $B N$ 的数量关系是__________；

(2)、【大胆尝试】
如图2，在三角板 $C E F$ 转动过程中，请探究线段 $A N$ 、 $B M$ 与 $M N$ 之间有怎样的数量关系？并说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板 $C E F$ ，当 $C F$ 与 $A B$ 边的延长线相交于点 $M$ 时，当 $A B = 3 B M, S_{△ B C N} = 8$ 时，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、新定义：如果两个实数 $a (a \neq 0)$ 、b使得关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的解是 $x = \frac{1}{a + b}$ 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对 $[a, b]$ 称为关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的一个“友好数对”．
例如： $a = 2$ ， $b = - 3$ 使得关于x的分式方程 $\frac{2}{x} - 1 = - 3$ 的解是 $x = \frac{1}{2 + (- 3)} = - 1$ 成立，所以数对 $[2, - 3]$ 就是关于x的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的一个“友好数对”．

(1)、判断下列数对是否为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“ $\times$ ”．
① $[2, 1]$ （）；② $[3, - 4]$ （）．

(2)、请判断数对 $[n, n - 3]$ 是否有可能是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”，如果可能，请求出此时的 $n$ 需满足什么条件？如果不可能，请说明理由．

(3)、若数对 $[- 4, k n] (k < - 3, n \neq 0)$ ，是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} - 1 = b$ 的“友好数对”， $M = \frac{k}{k + 1} - \frac{2}{n + 2}$ ， $N = \frac{1}{2 k + 3} + \frac{n}{n + 3}$ ，试比较M、N的大小．

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5、按要求解答下列问题：

(1)、若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} 5 x + y = - m + 6 \\ 3 x - y = 7 m - 8 \end{array}$ 的解满足 $x + y \geq 2$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三条边，且满足 $a^{2} - c^{2} + a b - b c = 0$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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6、如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6, D$ 是 $A C$ 上一点，且 $A D = \frac{1}{3} A C$ ，点 $M$ 为AB边上一动点，连接 $D M$ ，将线段 $D M$ 绕点 $D$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 至 $D N$ ，连接 $C N$ 、 $A N$ ，则 $A N + C N$ 的最小值为．

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7、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 x + 1 > 3 (x - 1) \\ \frac{3 x + a}{4} \leq 2 - x \end{array}$ 有解且仅有两个偶数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a - 8}{y - 2} - 2 = \frac{y}{2 - y}$ 的解为非负数，则满足条件的所有整数 $a$ 的值的和为．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $D$ 为 $A B$ 上一点．若 $C D = C B$ ， $A D = 1$ ， $B D = 2$ ，则 $C B$ 的长为．

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9、若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{k}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $k =$ ．

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10、如图1，直线 $A B$ ： $y = - 4 x - 8$ 与直线 $A C$ 交于 $y$ 轴上一点 $A$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上， $O C = 4$ ．

(1)、求直线 $A C$ 的函数表达式；

(2)、若线段 $A C$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $P$ ，求 $△ A P C$ 的面积；

(3)、点 $E$ 是直线 $A C$ 上的一个动点，在 $y$ 轴上找一点 $F$ ，连接 $B E ， E F ， F B$ ，当 $△ B E F$ 是以 $E F$ 为底边的等腰直角三角形时，直接写出 $F$ 点的坐标．

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11、某文具店计划购进 $A$ 、 $B$ 两种文件袋，购进 $A$ 款共用960元，购进 $B$ 款共用1680元． $B$ 款数量是 $A$ 款的1.5倍， $B$ 款的单价比 $A$ 款贵4元．

(1)、求 $A$ 、 $B$ 两款文件袋的单价；

(2)、一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个 $A$ 款文件袋．

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12、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 1, 4), B (- 4, 2), C (- 3, 5)$ ．（每个方格的边长均为1个单位长度）

(1)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称，则点 $C_{1}$ 的坐标为__________．

(2)、 $△ A B C$ 的面积为__________．

(3)、将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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13、按要求解答下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} y - 3 x y^{2} + x y$

(2)、因式分解： $a^{3} - 2 a^{2} - 15 a$

(3)、解方程： $\frac{3}{x} = \frac{5}{x - 1}$

(4)、解方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$

(5)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) \leq - 3 + x \\ \frac{x - 3}{2} > - 1 \end{array}$

(6)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 5 x - 1 < 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 1 \end{array}$

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14、如图，一次函数 $y = k x + 4 (k < 0)$ 的图象经过点 $A (1, 2)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + 4 > 2$ 的解集为．

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15、已知 $2 a = 3 b$ ，则 $\frac{2 a - b}{2 a + b}$ 的值为．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ，若沿图中虚线剪去 $∠ B$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ．

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17、若分式 $\frac{9 - x^{2}}{x - 3}$ 的值为零，则 $x$ 的值为．

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18、下列图案中，可以看成是由某一个基础图形通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、阅读材料，并解决问题：

(1)、【思维指引】如图1，等边三角形 $A B C$ 内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求 $∠ A P B$ 的度数．
解决此题，我们可以将 $△ A B P$ 绕顶点A逆时针旋转 $60 °$ 到 $△ A C P^{'}$ 处，此时 $△ A C P^{'} ≌ △ A B P$ ，连接 $P^{'} P$ ，借助旋转的性质可以推导出 $△ P A P^{'}$ 是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 转化到一个三角形中，从而求出 $∠ A P B =$ ________；

(2)、【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， E，F为边 $B C$ 上两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，请判断 $E F^{2}$ ， $B E^{2}$ ， $F C^{2}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、【方法推广】如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 7$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ，请你求出 $P A + P B + \sqrt{2} P C$ 的最小值．

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20、定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”．
例如：已知方程 $3 x - 6 = 0$ 和不等式 $x - 1 > 0$ ，对于未知数 $x$ ，当 $x = 2$ 时，使得 $3 \times 2 - 6 = 0$ ， $x - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$ 同时成立，则称 $x = 2$ 是方程 $3 x - 6 = 0$ 与不等式 $x - 1 > 0$ 的“和谐解”．

(1)、 $x = 3$ 是否是方程 $3 x - 9 = 0$ 与不等式 $3 (x - 2) < 6$ 的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”）

(2)、 $x = 2$ 是方程 $4 x - 5 = 3$ 与不等式（组）① $\frac{x + 1}{2} > 2$ ， ② $x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ ， ③ $\{\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 中________的“和谐解”；（只填序号）

(3)、如果 $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $3 x - a = 0$ 与关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x - 2}{4} < 1 \\ 2 - 3 (x - a) \leq b \end{matrix}$ 的“和谐解”，那么 $a =$ ________， $b$ 的取值范围是________；

(4)、如果 $x = n$ 是关于 $x$ 的方程 $x + 2 m = 3$ 与关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} 2 n + m - x > \frac{1}{2} \\ m - n + x > - 2 \end{matrix}$ 的“和谐解”，求出 $n$ 的取值范围．

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