相关试卷

1、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 经过 $A (- 5, 0)$ ， $B (- 4, - 3)$ 两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接 $C D$ ．

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m．
①当点P在直线 $B C$ 的下方运动时，求 $△ P B C$ 的面积的最大值；
②该抛物线上存在点P，使得 $∠ P B C = ∠ B C D$ ，请直接写出所有点P的坐标．

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2、阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ．
求证：过点 $A 、 B 、 C 、 D$ 可作一个圆．
证明：假设过点 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点不能作一个圆，过 $A 、 B$ 、 $C$ 三点作圆．如图1，若点 $D$ 在圆外，设 $A D$ 与圆相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则______，而已知 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，所以 $∠ A E C = ∠ D$ ，而 $∠ A E C$ 是 $△ C E D$ 的外角， $∠ A E C > ∠ D$ ，出现矛盾，故假设不成立，因此点 $D$ 在过 $A 、 B 、 C$ 三点的圆上．
如图2，若点 $D$ 在圆内， $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ （请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：

(1)、材料中划线部分的结论是______，依据是______；

(2)、请将图2的证明过程补全；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ C A D = 16 °$ ， $A D = B D$ ，则 $∠ A D B$ 的大小为______ $°$

(4)、如图4，已知正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $P$ 是 $A B$ 边上的一个动点，连接 $C P$ ，过点 $P$ 作 $P C$ 的垂线交 $A D$ 于点 $E$ ，以 $P E$ 为边作正方形 $P E F G$ ，顶点 $G$ 在线段 $P C$ 上，对角线 $E G 、 P F$ 相交于点 $O$ ．当点 $P$ 从 $A$ 运动到 $B$ 时，点 $O$ 也随之运动，求 $O$ 经过的路径长．

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3、某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元．
（1）求线下和网上的销售量分别是多少．
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个．
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的 $\frac{1}{3}$ ，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？

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4、已知：如图， $⊙ O$ 过正方形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ ，且与 $C D$ 边相切于点 $E$ ．点 $F$ 是 $B C$ 与 $⊙ O$ 的交点，连接 $O B$ ， $O F$ ， $A F$ ，点 $G$ 是 $A B$ 延长线上一点，连接 $F G$ ，且 $∠ G + \frac{1}{2} ∠ B O F = 90 °$ ．

(1)、求证： $F G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果正方形边长为 $8$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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5、2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、本次比赛获奖的总人数共有人；补全条形统计图

(2)、扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是；

(3)、学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{9} + |2 - \sqrt{3}| - \sqrt[3]{- 1}$

(2)、解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

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7、中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的 $\frac{2}{3}$ ，折扇张开的角度为 $120 °$ ，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为（结果保留 $π$ ）．

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8、正九边形的中心角等于度．

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9、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + (a + 6) = 0$ 有两个不相等的实数根，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y}{y - 1} + 1 = \frac{7}{1 - y}$ 的解为正整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是（）

A、 $- 7$ B、 $- 9$ C、 $- 14$ D、 $- 16$

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10、我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方， $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 $⊙ O$ 的半径长为（）

A、4 米 B、5 米 C、6 米 D、8 米

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11、《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（）

A、 $(x - 3) (x - 47) = 2975$ B、 $(x + 3) (x - 47) = 2975$ C、 $(x + 3) (x + 47) = 2975$ D、 $(x - 3) (x + 47) = 2975$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 62^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转后，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，且点 $C^{'}$ 在 $B C$ 上，则 $∠ B^{'} C^{'} B$ 的度数为（）

A、46° B、48° C、56° D、58°

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13、抛物线 $y = 4 {(x - 6)}^{2}$ 的顶点坐标为（　　）

A、 $(6, 0)$ B、 $(- 6, 0)$ C、 $(0, 6)$ D、 $(0, - 6)$

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14、瑞瑞在研究一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ 的根与系数关系时，得到 $x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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15、某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是103分，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 2.5$ ， $S_{乙}^{2} = 2.9$ ， $S_{丙}^{2} = 4.6$ ， $S_{丁}^{2} = 3.3$ ，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16、“抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为3的面朝上”，这个事件是（）

A、确定事件 B、必然事件 C、随机事件 D、不可能事件

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17、如图，⊙ $O$ 是△ $A B C$ 的外接圆， $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B O C$ 的大小为（　　）

A、 $100 °$ B、 $105 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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18、在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图．Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，P为AB的中点，以P为直角顶点的等腰Rt△PDE，PE与AC交于M，PD与直线BC交于N．
（1）如图1，求证：AM²+ BN² =MN²
（2）如图2，若AM=1，求BN的长
（3）如图3，若将等腰Rt△PDE绕P点旋转，当PE恰好经过点C时，过P作PQ⊥AN于Q，直接写出PQ的长．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A C B > 60 °$ ，在 $A C$ 边上取点D，使 $B D = B C$ ．以 $A D$ 为一边作等边 $△ A D E$ ，且使点E与点B位于直线 $A C$ 的同侧．

(1)、若点D与点E关于直线 $A B$ 轴对称，求 $∠ A C B$ 的度数．

(2)、若 $∠ A C B = 80 °$ ，写出线段 $B A$ ， $B D$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

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