相关试卷

1、下列函数中，是正比例函数的是（）

A、 $y = 2 (x - 1)$ B、 $y = \frac{1}{2 x}$ C、 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ D、 $y = \frac{x}{2}$

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2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{63 a}$ C、 $\sqrt{a^{2} - 2 a + 4}$ D、 $\sqrt{\frac{a}{3}}$

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3、问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．
在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究．
实验操作：已知等边 $△ A B C$ 纸片中，点D，E分别是 $A B, A C$ 边上的点，连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折叠得到 $△ A^{'} D E$ ，连接 $A^{'} B$ 与 $A^{'} C$ ．
【初步探究】当折痕 $D E$ 平行 $B C$ 时，完成下面探索任务：
（1）如图1，当点 $A^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上时，求证： $△ A^{'} B D$ 是等边三角形；
（2）如图2，当点 $A^{'}$ 落在 $△ A B C$ 内部时，求证： $△ A^{'} B D ≌ △ A^{'} C E$ ；
（3）当 $△ A^{'} B D$ 是直角三角形时，若 $A B = 6$ ，求 $B D$ 的长；
【深入探究】当折痕 $D E$ 与 $B C$ 不平行时，完成下面探索任务：
（4）当 $△ A^{'} B D$ 是等腰直角三角形时，请直接写出 $∠ A D E$ 的度数．

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4、【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出 $75 \times 75$ 的方法，先用 $100 \times 7 \times 8$ ，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动．
【活动1】
阅读材料：用 $\bar{a b}$ 表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即 $\bar{a b} = 10 a + b$ ．
观察思考：请观察下列运算规律
$15 \times 15 = 100 \times 1 \times 2 + 5 \times 5 = 225$ ，
$25 \times 25 = 100 \times 2 \times 3 + 5 \times 5 = 625$ ，
$35 \times 35 = 100 \times 3 \times 4 + 5 \times 5 = 1225$ ，
……
（1）根据阅读材料，可知： $\bar{a 5} =$ ______；
（2）观察运算规律，猜想： $\bar{a 5} \times \bar{a 5} =______+ 5 \times 5$ ；
【推理证明】
（3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想．
【活动2】
（4）如果 $b + c = 10$ ，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算 $\bar{a b} \times \bar{a c}$ 的方法，并证明你的结论．

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5、【知识回顾】我们已学习了五种用尺规完成的基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④过一点作已知直线的垂线；⑤作一条线段的垂直平分线．

【图形呈现】

有一个内角为 $36 °$ 的等腰三角形叫黄金三角形．我们将底角为 $36 °$ 的等腰三角形称为“黄金1号”；顶角为 $36 °$ 的等腰三角形称为“黄金2号”．这两种黄金三角形，你中有我，我中有你．

【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形．

(1)、小乐同学选择尺规基本作图①，如图1，在黄金1号

△ A B C

的

B C

边上截取

B M = A B

，连接

A M

后，得到

△ A B M

和

△ A C M

．小乐认为这两个三角形都是黄金三角形，小乐的说法对吗？请判断并证明你的结论；

(2)、请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种，在如图2的黄金2号

△ D E F

的

D F

边上找一点G，连接

E G

，将

△ D E F

分割成两个小的黄金三角形（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）．

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6、两个小组从山脚同一起点同时开始攀登一座 $450 m$ 高的山，第一组的攀登速度是第二组的 $1.2$ 倍，他们比第二组早 $15 min$ 到达山顶．

(1)、求第二组的攀登速度；

(2)、两个小组在山顶欣赏美丽的风景后同时下山，他们下山速度都比各自上山的速度快 $t m/min$ ，哪个小组先回到山脚起点？先到达多长时间？

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7、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 4)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $B_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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8、如图， $A B = D C$ ， $A C = D B$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D C B$ ；

(2)、若 $∠ A = 90 °$ ， $∠ D B C = 35 °$ ，求 $∠ A B D$ 的度数．

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9、（1）计算： $x (x - 2) + 2 x^{3} \div x^{2}$ ；
（2）先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $S_{△ A B C} = 20$ ， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点E，F，若D，M分别为线段 $B C$ ， $E F$ 上的动点，则 $B M + D M$ 的最小值为．

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11、已知分式 $\frac{x + a}{x - b}$ （a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值
1
2
$\frac{x + a}{x - b}$
分式无意义
分式的值为0
则 $a + b$ 的值是．

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12、如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱 $A D ⊥ B C$ ，若 $∠ B A D = 55 °$ ，则 $∠ C A D =$ $°$ ．

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13、《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得 $\frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$ ；取第二次得 $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$ ；取第三次得 $\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{3}$ ；……若 ${(\frac{1}{2})}^{50} = m$ ，则 ${(\frac{1}{2})}^{51} + {(\frac{1}{2})}^{52} + {(\frac{1}{2})}^{53} + \dots + {(\frac{1}{2})}^{100}$ 用含m的式子表示为（）

A、 $2 m + 1$ B、 $m - m^{2}$ C、 $1 - m^{2}$ D、 $m^{2} - m + 1$

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14、水退清淤不停歇，“洁”尽全力护家园．郁江2024年第1号洪水退水后，南宁市市政和园林管理局开展邕江沿岸清淤工作．该工作采用了人工冲洗和设备冲洗结合的方式，一台设备的工作效率相当于一名工人工作效率的10倍，用这台设备清理淤泥面积 $6000 m^{2}$ 比5名工人清理这些淤泥少用 $20 h$ ．设一名工人每小时清理淤泥面积 $x m^{2}$ ，可列方程为（）

A、 $\frac{6000}{10 x} - 20 = \frac{6000}{5 x}$ B、 $\frac{6000}{10 x} = \frac{6000}{5 x} - 20$ C、 $\frac{6000}{10 x} + 20 = 5 \times \frac{6000}{x}$ D、 $\frac{6000}{10 x} = 5 \times \frac{6000}{x} + 20$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ 于点E．若 $D E = 4$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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16、如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）

A、 $(a + 1) (a - 1) = a^{2} - 1$ B、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 2 a + 1$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ D、 $a (a + 1) = a^{2} + a$

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17、下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} + x^{4} = x^{7}$ B、 $x^{3} \cdot x^{4} = x^{12}$ C、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ D、 ${(2 x)}^{2} = 4 x^{2}$

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18、如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则 $∠ 1$ 等于（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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19、“方寸之间，别有洞天”，我国古代建筑常采用花窗框景，让风景如同镶嵌在画框中的风景画．如图所示的窗框的外框形状是正八边形，则这个正八边形的内角和为（）

A、 $360 °$ B、 $540 °$ C、 $720 °$ D、 $1080 °$

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20、如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、垂线段最短 C、两点确定一条直线 D、两点之间，线段最短

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x的取值	1	2
$\frac{x + a}{x - b}$	分式无意义	分式的值为0