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1、数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算， $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = | a \pm b |$ ．如何将双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ 化简？我们可以把 $5 \pm 2 \sqrt{6}$ 转化为 ${(\sqrt{3})}^{2} \pm 2 \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}} = | \sqrt{3} \pm \sqrt{2} | = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$ 得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点 $P (x, y)$ 和 $Q (x, y^{'})$ 给出如下定义：若 $y^{'} = {\begin{array}{l} y (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ ，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点 $(3, 2)$ 的“横负纵变点”为 $(3, 2)$ ，点 $(- 2, 5)$ 的“横负纵变点”为 $(- 2, - 5)$ ．
请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)、点 $(\sqrt{2}, - \sqrt{3})$ 的“横负纵变点”为，点 $(- 3 \sqrt{3}, - 2)$ 的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$ ；

(3)、已知a为常数 $(1 \leq a < 2)$ ，点 $M (- \sqrt{2}, m)$ ，且 $m = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ ，则 $m =$ ，若点 $M^{'}$ 是点M的“横负纵变点”，则点 $M^{'}$ 的坐标是．

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2、已知：如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $C D$ 上一点， $E B$ 平分 $∠ A E C$ ，点F为 $D E$ 的中点， $∠ A B F = 45 °$ ．

(1)、求证： $A E = A B$ ；

(2)、若 $D E = 4$ ，求 $B E$ 的长．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $A B ∥ O C, A (0, 12), B (a, c), C (b, 0)$ ，并且a ， b满足 $b = \sqrt{a - 21} + \sqrt{21 - a} + 16$ ．动点P从点A出发，在线段 $A B$ 上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段 $O C$ 上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）

(1)、求B、C两点的坐标；

(2)、当t为何值时， $P Q = C B$ ？并求出此时P、Q两点的坐标．

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4、已知一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象经过点 $A (2 ， 3)$ ，与x轴交于点B ．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、点C是x轴上一点，若 $△ A B C$ 的面积为3，求点C的坐标．

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5、观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1．

(1)、图中阴影部分的面积S是多少？阴影部分正方形的边长a是多少？

(2)、请你利用图2在 $5 \times 5$ 的方格内作出边长为 $\sqrt{13}$ 的正方形 $A B C D$ ．

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6、计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} + (1 - 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}) - \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ．

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7、如图，点 $A$ ， $B$ ， $E$ 在同一条直线上，正方形 $A B C D$ ， $B E F G$ 的边长分别为 $3$ ， $4$ ， $H$ 为线段 $D F$ 的中点，则图中阴影部分的面积是．

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8、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 $b + \sqrt{{(b - a)}^{2}} - \sqrt{a^{2}} =$ ．

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9、将一次函数 $y = 2 x + 3$ 的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：．

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10、就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边分别向外作正方形，连接 $D N$ ， $E F$ ， $M G$ ，设 $△ A D N$ ， $△ B E F$ ， $△ C M G$ 的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ B、 $S_{2} + S_{3} = S_{1}$ C、 $S_{3} = \sqrt{S_{1} \cdot S_{2}}$ D、 $S_{1} = S_{2} = S_{3}$

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11、摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上取中点E ，以点E为圆心，线段 $D E$ 长为半径作圆，交 $B C$ 的延长线于点F ，过点F作 $F G ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点G ，得到矩形 $C D G F$ ．根据黄金分割的意义：矩形 $A B F G$ 满足 $A B : B F = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，若 $A B = 2$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12、如图， $B D$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线，作 $B C$ 的垂直平分线分别交 $B D$ 、 $B C$ 于点E、F ，连接 $A E$ 、 $C E$ ，若 $∠ A B C = 46 °$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $105 °$ B、 $108 °$ C、 $111 °$ D、 $114 °$

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13、对于一次函数 $y = - x + 3$ ，下列结论错误的是（）

A、y随x的增大而增大 B、当 $y < 0$ 时， $x > 3$ C、直线 $y = - x + 3$ 与直线 $y = - x$ 平行 D、函数的图象不经过第三象限

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的是（　　）

A、 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = ∠ A D C$ B、 $O A = O C$ ， $O B = O D$ C、 $A D ∥ B C$ ， $A B = C D$ D、 $A B = C D$ ， $A D = B C$

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15、如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在 $A B$ 的同侧取一点C ，连接 $C A$ 并延长至点D ，连接 $C B$ 并延长至点E ，使得 $A C = A D$ ， $B C = B E$ ．若测得 $D E = 26 m$ ，则A、B间的距离为（）m

A、52 B、13 C、18 D、20

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16、下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{5^{2} + 1 2^{2}} = 17$ C、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} = 5$ D、 $2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$

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17、函数 $y = \sqrt{x - 5}$ 中，自变量x的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x ≥ 5$ D、 $x \neq 5$

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18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{50}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ D、 $\sqrt{12}$

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19、金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、经过一点有无数条直线

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20、下列运算正确的是（　　）

A、x⁴•x³＝x⁷ B、（﹣2x）³＝﹣6x³ C、x²+x²＝2x⁴ D、（x²）³＝x⁵

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