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1、如图，平面直角坐标系中． $A (a, 0)$ ， $B (0, b)$ （ $a$ ， $b$ 均大于0）， $C$ 点在第二象限．

(1)、若 $a$ ， $b$ 满足 $b = \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 2$ ，求线段 $A B$ 的长度．

(2)、如图（1），在（1）的条件下，若 $∠ B C O = 45 °$ ，求证： $2 C O^{2} + C B^{2} = C A^{2}$ ．

(3)、如图（2），若 $∠ B C O = 135 °$ ， $∠ C A O = 2 ∠ C B O$ ， $A B = 6$ ， $C A = 3$ ，求 $△ O B A$ 的面积．

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2、【特例感知】如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别为 $A B, A D$ 的中点， $D E 、 C F$ 交于点 $G$ ．

（1）易证 $△ A D E ≌ △ D C F$ ，可知 $D E 、 C F$ 的数量关系为________________，位置关系为________________
（2）连接 $B G$ ，若 $A B = 6$ ，求 $B G$ 的长．
【初步探究】如图 $2$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A B$ 边上一点， $F G ⊥ D E$ 分别交 $A D$ 、 $B C$ 于 $F 、 G$ ，垂足为 $O$ ．求证： $F G = D E$ ．
【基本应用】如图3，将边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使得点 $A$ 落在边 $C D$ 的中点 $M$ 处，折痕为 $P Q$ ，点 $P 、 Q$ 分别在边 $A D 、 B C$ 上，求 $P Q$ 的长．

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3、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ．

(1)、用直尺和圆规在边 $B C$ 上找一点 $D$ ，使 $D$ 到 $A B$ 的距离等于 $C D$ ．

(2)、计算（1）中线段 $C D$ 的长．

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4、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形．

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5、计算：

(1)、 ${(- \sqrt{6})}^{2} - \sqrt{25} + \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{18} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{12} + \sqrt{3}$ ．

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6、小雅同学手中有一张矩形纸片 $A B C D, A D = 6 cm, C D = 4 cm$ ，他进行了如下操作：第一步，如图 $1$ 将矩形纸片对折，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $M N$ ，将纸片展平；第二步，如图 $2$ ，再一次折叠纸片，把 $△ A D N$ 沿 $A N$ 折叠得到 $△ A D^{'} N, A D^{'}$ 交折痕 $M N$ 于点 $E$ ，则 $D^{'}$ 到 $B C$ 的距离为．

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7、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $O H$ ，若 $O A = 4$ ， $S_{菱形 A B C D} = 24$ ，则 $O H$ 的长为．

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $D$ 是 $A C$ 边的中点，点 $E$ 是 $A B$ 边的中点，若 $A B = 8 \sqrt{3}$ ，则 $D E$ 的长是．

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9、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = 8 cm$ ， $A B = 5 cm$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 边于点 $E$ ，则 $B E =$ $cm$ ．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $A C = 1$ ， $B C$ 在数轴上，点 $B$ 对应的数为1，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，交数轴于点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数是

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11、如图，已知点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 内的一点，连接 $E A 、 E B 、 E C$ ，如果 $E A = 2$ ， $E B = 1$ ， $E C = \sqrt{6}$ ，则四边形 $A E C D$ 的面积为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2} + 9}{2}$ B、 $\sqrt{2} +$ 9 C、 $\sqrt{2} + \frac{9}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} +$ 9

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12、矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A、四个角相等 B、四条边相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直

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13、如图，公路 $A C$ ， $B C$ 互相垂直，公路 $A B$ 的中点 $M$ 与点 $C$ 被湖隔开，若测得 $A C$ 为 $5km$ ， $B C$ 长为 $12km$ ，则 $M$ ， $C$ 两点间的距离为（）

A、 $5km$ B、 $6km$ C、 $6 .5km$ D、 $7 .5km$

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14、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{7} = 3$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C、 $\sqrt{24} \div \sqrt{2} = 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$

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15、定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程 $4 x = 8$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”．

(1)、若关于x的方程 $3 x + m = 0$ 与方程 $4 x - 2 = x + 10$ 是“美好方程”，求m的值；

(2)、若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；

(3)、若关于x的一元一次方程 $\frac{1}{2024} x + 3 = 2 x + k$ 和 $\frac{1}{2024} x + 1 = 0$ 是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 $\frac{1}{2024} (y + 1) = 2 y + k - 1$ 的解．

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16、若关于x的方程 $(m + 2) x^{m - 1} + 5 = 0$ 是一元一次方程，解关于y的方程 $\frac{5 y + 3 m}{5} - \frac{m y - 3}{2 m} = 1$ ．

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17、如图， $△ A E C$ 绕A点顺时针旋转 $60 °$ 得 $△ A P B ， ∠ P A C = 20 °$ ，求 $∠ B A E$ ．

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18、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于与它相邻的内角的 $\frac{1}{5}$ ，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．

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19、如图所示的两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出图形中标出的a，b， $β$ 的值．

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20、（1）解方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 7 \\ 3 x + y = 17 \end{matrix}$
（2）解不等式： $\frac{x - 3}{2} > \frac{2 x - 5}{3}$

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