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相关试卷

1、点 $P (1, a + 2)$ 在第一象限，则实数 $a$ 的取值范围是．

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2、要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，实数 $x$ 的取值范围是．

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3、如图，点 $A$ 、 $B$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 上，直线 $A B$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $C$ 、 $D$ ，与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 交于点 $E$ ，连接 $O A 、 O B$ ，若 $S_{△ A O C} = 20, A B = 3 B C$ ， $A D = D E$ ，则 $k_{2}$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 11$ C、 $- 12$ D、 $- 13$

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4、《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金 $x$ 两，羊每头值金 $y$ 两，则可列方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 5 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 10 \\ 5 x + 2 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$

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5、在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，将线段 $O A$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得线段 $O A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(3, - 2)$ D、 $(2, - 3)$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B \neq A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $D E ∥ B C$ B、 $∠ B = ∠ E F C$ C、 $∠ B A F = ∠ C A F$ D、 $O D = O E$

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7、某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、正方体 D、长方体

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8、宿迁市 $2025$ 年第一季度 $G D P$ 总量突破一千亿大关，约为 $1080$ 亿元．数据 $1080$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.08 \times 1 0^{10}$ B、 $1.08 \times 1 0^{11}$ C、 $10.8 \times 1 0^{10}$ D、 $1080 \times 1 0^{8}$

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9、下列计算结果为 $a^{3}$ 的是（）

A、 $a + a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3}$ C、 $a \cdot a^{2}$ D、 $a^{9} \div a^{3}$

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10、黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技——黄金比例》（如图1）就是用黄金分割比作为主题设计的．

【阅读观察】

材料1：黄金分割点的定义

如图2，若线段 $A B$ 上的点 $C$ 满足 $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，则点 $C$ 称作线段 $A B$ 的黄金分割点，其中 $\frac{A C}{A B}$ 的比直称作黄金分割比 $φ = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，而 $\frac{A B}{A C}$ 的比值为 $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} ， Φ$ 与 $φ$ 互为倒数．

材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段 $A B$ 的黄金分割点 $C$ ）

方法1：如图3，①过点 $B$ 作 $l ⊥ A B$ ；

②在直线 $l$ 上截取 $B D = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $A D$ ；

③在 $D A$ 上截取 $D E = D B$ ；

④在 $A B$ 上截取 $A C = A E_{∘}$ 点 $C$ 即为所求．

方法2：如图4，

①以 $A B$ 为边作正方形 $A B E D$ ；

②取 $A D$ 中点 $F$ ，连接 $B F$ ；

③以点 $F$ 为圆心， $F B$ 为半径作圆弧，与 $D A$ 的延长线交于点 $H$ ；

④以 $A H$ 为边在 $A B$ 一侧作正方形 $A H G C ， G C$ 交 $A B$ 于点 $C$ ，可得 $\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ．点 $C$ 即为所求．

【思考探究】

(1)、说明图3中

\frac{A C}{A B} = φ

；

(2)、用不同于（1）的方法，说明图4中

\frac{B C}{A C} = \frac{A C}{A B}

．

(3)、【迁移拓展】

如图5，作圆内接正五边形：

①作 $⊙ O$ 的两条互相垂直的半径 $O A$ 和 $O M$ ，取 $O M$ 的中点 $N$ ，连接 $A N$ ；

②作 $∠ O N A$ 的平分线，交 $O A$ 于点 $K$ ；

③过点 $K$ 作 $O A$ 的垂线，交 $⊙ O$ 于点 $B ， E$ ，连接 $A B ， A E$ ；

④截取 $B C = B A ， C D = C B$ ，连接 $B C ， C D ， D E$ ．五边形 $A B C D E$ 即为所求．

若 $O A = 2$ ，根据以上作法，证明： $A B^{2} = φ^{2} \cdot B E^{2}$ ．

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11、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 与正比例函数 $y = k x$ 的图象都经过点 $A (3 ， 3)$ ，点 $P$ 为二次函数图象上点 $O$ 与点 $A$ 之间的一点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $O A$ 于点 $C$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ．

(1)、若点 $A$ 为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段 $P C$ 长度的最大值．

(2)、若该二次函数与 $x$ 轴的一交点为 $B (m ， 0)$ ，且 $m > 4$ ，求 $a$ 的取值范围．

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12、图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的 $⊙ O$ ，其上的某个座舱可视作 $⊙ O$ 上的点 $A$ ，座舱距离地面的最低高度 $B C$ 为10米，地面 $l$ 上的观察点 $D$ 到点 $C$ 的距离 $D C$ 为80米，平面示意图如图2所示．

(1)、当视线 $D A$ 与 $⊙ O$ 相切时，求点 $A$ 处的座舱到地面的距离．

(2)、已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点 $A$ 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： $t a n 36.8 7^{∘} \approx \frac{3}{4} ， s i n 66.8 7^{∘} \approx 0.92$ ， $c o s 66.8 7^{∘} \approx 0.39 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， π \approx 3.14 ）$

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13、为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．

【数据收集】

试验田玉米株高（cm）	对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56．	41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．

【数据整理】

把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用 $h$ 表示株高， $40 c m \leq h \leq 60 c m$ ）

	A $(40 \leq h < 44)$	B $(44 \leq h < 48)$	C $(48 \leq h < 52)$	D $(52 \leq h < 56)$	E $(56 \leq h \leq 60)$
试验田玉米株频数	4	8	15	11	2
对照田玉米株频数	7	5	6	14	8

(1)、你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．

(2)、【数据描述】

根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．

补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；

(3)、已知此生长期的玉米株高

h

满足

48 c m \leq h < 56 c m

为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）

(4)、【数据分析】

对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：

统计量	中位数	众数	平均数	方差
试验田	49.5	51	49.73	15.10
对照田	52	52	50.28	40.05

根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．

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14、如图，在△ABC中，点 $D ， E ， G$ 分别是边 $A B ， A C ， B C$ 的中点， $D E$ 与 $A G$ 相交于点 $F$ ，连接 $C F ， A G = A C$ ．证明：

(1)、 $\frac{A F}{A G} = \frac{D E}{B C}$ ；

(2)、△ADF≌△CFE ．

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15、某企业为提高生产效率，采购了相同数量的 $A$ 型、 $B$ 型两种智能机器人，购买 $A$ 型机器人的总费用为90万元，购买 $B$ 型机器人的总费用为60万元， $B$ 型机器人单价比 $A$ 型机器人单价低3万元．

(1)、求 $A$ 型、 $B$ 型两种机器人的单价；

(2)、该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求 $A 、 B$ 两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．

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16、如图，已知菱形 $A B C D$ 的顶点在方格纸的格点上，其中 $A ， B ， C$ 的坐标分别为（0，1）， $(- 2 ， 4) ， (- 4 ， 1)$ ．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）．

(1)、画出平面直角坐标系，并写出对称中心 $G$ 的坐标和点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标；

(2)、将菱形 $A B C D$ 平移，使点 $C$ 的对应点为点 $B$ ，画出平移后的菱形．

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17、

(1)、先化简，再求值： $x (5 x - 8 y) - 4 {(x - y)}^{2}$ ，其中 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 0$ ．

(2)、解方程组： ${\begin{array}{l} x - y = 2 ， \\ 2 x + 3 y = - 1 ． \end{array}$

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18、如图1，点 $A_{1} (x_{1} ， y_{1})$ 是函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上任意一点，过 $A_{1}$ 向 $y$ 轴作垂线交 $y$ 轴于点 $B_{1}$ ，向 $x$ 轴作垂线交 $x$ 轴于点 $C_{1}$ ，矩形 $A_{1} B_{1} O C_{1}$ 的周长 $L_{1} = 2 (A_{1} B_{1} + A_{1} C_{1}) =$ $2 (x_{1} + y_{1}) = 2 (x_{1} + \frac{1}{x_{1}})$ ，当 $x_{1} = \frac{1}{x_{1}}$ 时， $L_{1}$ 有最小值4；如图2，点 $A_{2} (x_{2} ， y_{2})$ 是函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 图象上任意一点，同样作矩形 $A_{2} B_{2} O C_{2}$ ，它的周长 $L_{2} = 2 (x_{2} + \frac{2}{x_{2}})$ ，同理得 $L_{2}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2} ； ⋯$ ；点 $A_{n} (x_{n} ， y_{n})$ 是函数 $y = \frac{n}{x}$ （ $x > 0 ， n$ 为正整数）图象上任意一点，作矩形 $A_{n} B_{n} O C_{n}$ ，它的周长为 $L_{n}$ ，则 $L_{n}$ 的最小值为．

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19、如图，在□ $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上．将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好落在边 $D C$ 上；将△ADB^'沿 $A B^{'}$ 折叠，点 $D$ 的对应点 $D^{'}$ 恰好落在 $A E$ 上．若 $∠ C = α$ ，则 $∠ C B^{'} E =$ ．（用含 $α$ 的式子表示）

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20、如图，圆锥的底面圆心为 $O$ ，顶点为 $A$ ，母线 $l$ 长为4，母线 $l$ 与高 $A O$ 的夹角为 $3 0^{∘}$ ，那么圆锥侧面展开图的面积为．

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