相关试卷

1、如图，已知等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，点E、F分别为边 $A B 、 A C$ 上的两动点，且 $∠ E D F = 60 °$ ，连接 $E F$ ，将 $△ A E F$ 的周长记为 $C_{Δ A E F}$ ．那么 $C_{Δ A E F}$ 与 $A D$ 存在怎样的关系呢？
【问题探究】
（1）先将问题特殊化如图（2），当E点为 $A B$ 中点时，直接写出 $C_{Δ A E F}$ 与 $A D$ 的等量关系；
（2）再探究一般情况如图（1），当E点为边上任意一点时，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】
（3）如图（3），延长 $B A 、 D F$ 交于点G，若 $A G = 2 ， G E = \sqrt{19}$ ，直接写出 $B E$ 的长度

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2、某超市销售一种成本为20元/件的商品，若某个月的第x天（x为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示：
第x天
售价（元/件）
日销售量（件）
$1 \leq x \leq 30$
$80 - x$
$40 + 4 x$
设销售该商品的日销售利润为y元．

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？

(3)、如果超市每销售一件商品，就捐赠m元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求m的取值范围．

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3、如图网格是由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D，P都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，

(1)、如图1，画出 $△ A B C$ 关于点P中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、如图2， $A C$ ， $B D$ 交于点E，将线段 $A B$ 平移至线段 $E F$ ，（点B对应点为E）；

(3)、在图3中，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转 $α$ ，其中旋转角 $α = ∠ A B C$ ，画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C$ ．

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4、如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，点D是弧 $A B$ 的中点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ．

(1)、如图1，若 $∠ A C D = 30 °$ ，求 $∠ A D B$ 的度数；

(2)、如图2，若 $A B = A C = 10$ ， $A D = \frac{5 \sqrt{5}}{2}$ ，求 $B C$ ．

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5、已知抛物线 $C : y = a x^{2} + b x - 3$ 中的 $x$ ， $y$ 满足下表：
$x$
…
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
…

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 \leq y \leq 5$ ，则自变量x的取值范围为（直接写出结果）

(3)、当 $- 1< x \leq 4$ 时，抛物线 $C : y = a x^{2} + b x - 3$ 与直线 $y = 2 t$ 有交点，则 $t$ 的取值范围为（直接写出结果）

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 2$ ，将 $A C$ 绕着点A逆时针旋转 $60 °$ 得到 $A D$ ，连接 $B D 、 C D$ ，求 $B D$ 的长．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， A B = 6 ， B C = 8 ， ∠ B C A$ 与 $∠ B A C$ 的平分线 $C D 、 A E$ 交于点O，直线 $A M 、 C N$ 分别经过点 $A$ 、C，且 $A M ∥ C N$ ．若直线 $A M$ 关于 $A E$ 对称的直线为 $A M_{1}$ ，直线 $C N$ 关于 $C D$ 对称的直线 $C N_{1}$ ，直线 $A M_{1} 、 C N_{1}$ 交于点 $P$ ，则 $O P$ 的最大值为．

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8、抛物线 $y = - x^{2} + n x + m$ 交 $x$ 轴于点 $A (a, 0)$ 和 $B (b, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ，将其向左平移一个单位长度后图象关于 $y$ 轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是；
① $a + b = 2$ ；
②对于任意实数 $t$ ，总有 $- t^{2} + n t < - 1 + n$ ；
③抛物线上有两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 和 $Q (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；
④点 $C$ 关于抛物线对称轴的对称点为 $E$ ，点 $G ， F$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，当 $m = 2$ 时，四边形 $E D F G$ 周长的最小值为 $6 \sqrt{2}$ ．

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9、《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等，则门的对角线长为尺．

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10、关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 - a) x + \frac{1}{4} a^{2} = 0$ 的两实数根互为倒数，则两根之和为．

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11、点 $(2024, - 2025)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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12、如图， $D$ 是等边三角形 $A B C$ 外一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ ．若 $B D = 4 \sqrt{7}$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 10$ ，则三角形 $A B C$ 的面积为（）

A、 $10 \sqrt{3}$ B、 $13 \sqrt{3}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $9 + 6 \sqrt{3}$

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13、若函数 $y = a x^{2} - 2 x - 2$ 的图象在 $- 1 < x < 1$ 的范围内与x轴没有公共点，则a的取值范围是（）

A、 $0 < a < 4$ B、 $0 < a \leq 4$ C、 $a \leq 0$ D、 $- \frac{1}{2} \leq a \leq 0$

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14、如图，若 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ A B D = 55 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $55 °$ C、 $45 °$ D、 $35 °$

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15、二次函数 $y = x^{2} - 4 x - 2$ 的顶点坐标是（）

A、 $(2, - 2)$ B、 $(2, - 6)$ C、 $(2, 2)$ D、 $(2, 6)$

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16、把方程 $x^{2} - 6 x + 3 = 0$ 化为 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m + n$ 的值是（）

A、7 B、3 C、 $- 3$ D、6

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17、下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、无实数根 B、有两个相等实数根 C、有两不相等实数根 D、无法判断

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19、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的一次项系数、常数项分别为（）．

A、 $2, - 1$ B、2，1 C、 $- 3, - 1$ D、3，1

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20、拋物线 $y = x^{2}$ 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（）

A、 $y = (x + 8) - 9$ B、 $y = (x - 8) + 9$ C、 $y = {(x - 8)}^{2} - 9$ D、 $y = {(x + 8)}^{2} + 9$

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第x天	售价（元/件）	日销售量（件）
$1 \leq x \leq 30$	$80 - x$	$40 + 4 x$

$x$	…	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	…