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1、阅读下述材料：
【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{1} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6}) (\sqrt{7} + \sqrt{6})}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - \sqrt{5}$ 的大小可以先将它们分子有理化如下： $\sqrt{7} - \sqrt{6} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ ， $\sqrt{6} - \sqrt{5} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ，
因为： $\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ，所以 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ．
【材料2】求 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$ 的最大值．具体方法如下：
解：由 $x + 2 \geq 0$ ， $x - 2 \geq 0$ ，可解得： $x \geq 2$ ，而且 $y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2} = \frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$
故当 $x = 2$ 时，分母 $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$ 有最小值2，所以y的最大值是2．
请根据上述材料中的描述，解决下列问题：

(1)、比较大小： $\sqrt{15} - \sqrt{13}$ ______ $\sqrt{13} - \sqrt{11}$ ；（用“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”填空）；

(2)、填空： $y = \sqrt{1 + x} - \sqrt{x}$ ，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______；

(3)、若 $\sqrt{12 - x} - \sqrt{4 - x} = 2$ ，求 $\sqrt{12 - x} + \sqrt{4 - x}$ 的值．

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2、
如图，某品牌自行车每节链条的长度为 $2.5 cm$ ，交叉重叠部分的圆的直径为 $0.8 cm$ ．设链条长度为 $y cm$ ，链条节数为 $x$ ．
链条节数 $x /$ 节
$2$
$3$
$4$
$\dots$
链条长度 $y / cm$
$4.2$
$m$
$n$
$\dots$
（1）观察图形，根据条件可求得表格中： $m =$ ______， $n =$ ______；
（2）根据条件，可求得 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为____________；
（3）如下计算图，一辆自行车的链条（安装前）共由 $46$ 节链条组成，那么将这根链条安装到自行车上后（链条变为右图中的环形），求安装上自行车上后的链条总长度是多少？

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3、已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 $A C = 80 cm$ ， $B C = 60 cm$ ，两轮轮轴的距离 $A B = 100 cm$ （购物车车轮半径忽略不计）， $D G$ 、 $E H$ 均与地面平行．

(1)、猜想两支架 $A C$ 与 $B C$ 的位置关系并说明理由；

(2)、若 $F G$ 的长度为 $80 cm$ ， $∠ E H G = 60 °$ ，求购物车把手 $F$ 到 $A B$ 的距离．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，且 $A E = C F$ ， $∠ B A C = ∠ D C A$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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5、已知 $y$ 与 $x$ 之间满足 $y = k (x - 3)$ ，且当 $x = 4$ 时， $y = 3$ ．求：

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、当 $y = 6$ 时， $x$ 的值．

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6、计算： $(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) + \sqrt{54} - \sqrt{6}$ ．

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7、我们将宽与长之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形．如图，矩形 $A B C D$ 为黄金矩形 $(A B > A D)$ ，在其内部作正方形 $A E F D$ ，若矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 2$ ，那么 $C F =$ ．

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8、已知直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为．

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9、计算： $\sqrt{{(- 10)}^{2}} =$ ．

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10、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 均在 $x$ 轴上，点D在 $y$ 轴上，点 $C$ 在第一象限，已知点 $A$ 坐标为 $(- 3, 0)$ ，点 $D$ 坐标为 $(0, 4)$ ，点 $P$ 是直线 $B D$ 上一动点，则 $A P + O P$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{41}$ D、5

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11、已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（）

A、张强从家到体育场用了15min B、体育场离文具店1.5km C、张强在文具店停留了20min D、张强从文具店回家用了35min

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12、如图， $△ A B C$ 中D、E分别是 $A B 、 A C$ 的中点，F是 $D E$ 上一点， $A F ⊥ C F$ ，若 $B C = 14$ ， $D F = 1$ ，则边 $A C$ 的长是（）

A、15 B、14 C、13 D、12

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中，两条对角线交于点 $O$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 3$ ，则 $A C$ 长为（　　）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $3 \sqrt{3}$

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 110 °$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $125 °$ B、 $110 °$ C、 $55 °$ D、 $135 °$

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15、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3} \times 5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}$

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16、以下列各数为三角形的边长．能构成直角三角形的是（）

A、1，2，2 B、 $1$ ， $\sqrt{3}$ ， $2$ C、4，5，6 D、 $1$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$

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17、下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{0.2}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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18、已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 16$ ， $B C = 12$ ， $D$ 是 $A C$ 上的一点， $C D = 6$ ，点 $Q$ 从 $B$ 点出发沿射线 $B C$ 以每秒2个单位的速度运动，设点 $Q$ 的运动时间为 $t$ 秒，连接 $A Q$ ．

(1)、如图1，当 $t = 2$ 时，求 $A Q$ 的长度．（结果保留根号）

(2)、如图 $2$ ， $△ A B Q$ 为等腰三角形时，求 $t$ 的值．

(3)、如图3，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A Q$ 于 $E$ 点，在点 $Q$ 运动过程中，当 $t =$ ______时， $D E = C D$ ．

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19、定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程 $x + 3 = 1$ 的解为 $x = - 2$ ，不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 3 > 4 x \\ 3 x - 1 \leq 5 (x + 1) \end{array}$ 的解集 $- 3 \leq x < 1$ 因为 $- 3 \leq - 2 < 1$ ，所以方程 $x + 3 = 1$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 3 > 4 x \\ 3 x - 1 \leq 5 (x + 1) \end{array}$ 的“约定方程”．

(1)、方程 $2 (x - 1) + 10 = 2$ 是否为不等式组 $\{\begin{matrix} 1 - 2 x > 0 \\ x + 2 \leq 0 \end{matrix}$ ．的“约定方程”？并说明理由．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $2 x - a = 1$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 > 3 + x \\ x - 3 \geq 2 x - 6 \end{array}$ 的“约定方程”，求 $a$ 的取值范围．

(3)、若方程 $2 x = - 4$ 和方程 $\frac{2 x + 1}{3} = - \frac{1}{3}$ 都是关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} m x + 2 x < m + 2 \\ x + 3 \geq m \end{matrix} (m \neq - 2)$ 的“约定方程”，求 $m$ 的取值范围．

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20、2026亚太经合组织 $A P E C$ 第三十三次领导人非正式会议，将于11月18日至19日在深圳香蜜湖国际会议中心举办，为迎接这一盛会的召开，某商店上架了 $A$ 、 $B$ 两款有关会场的纪念品，已知10个 $A$ 款纪念品和15个 $B$ 款纪念品的售价为2400元；30个 $A$ 款纪念品和20个 $B$ 款纪念品的售价为5200元．

(1)、每个 $A$ 款纪念品和 $B$ 款纪念品的售价分别为多少元？

(2)、已知 $A$ 款纪念品和 $B$ 款纪念品的成本分别为80元／个和50元／个．近期这两款纪念品持续热销，于是该店决定再购进这两款纪念品共600个，其中 $B$ 款纪念品的数量不超过 $A$ 款纪念品数量的2倍，且购进总价不超过37800元．为回馈新老客户，商店决定对 $A$ 款纪念品降价 $10 %$ 后再销售，而 $B$ 款纪念品售价不变，若该店再购进的这两款纪念品全部售出．则 $A$ 款纪念品购进多少个时该商店当月销售利润最大？最大利润为多少？

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链条节数 $x /$ 节	$2$	$3$	$4$	$\dots$
链条长度 $y / cm$	$4.2$	$m$	$n$	$\dots$