相关试卷

1、深圳市某中学开展法治知识竞赛，为了从甲、乙两位同学中选拔一人参赛，某班级举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图：

(1)、甲同学成绩的中位数是________分，乙同学成绩的众数是________分．

(2)、小明同学已经算出甲同学的平均成绩 $\bar{x_{1}} = \frac{1}{6} (85 + 82 + 89 + 98 + 93 + 93) = 90$ ，
方差 $s_{1}^{2} = \frac{1}{6} [{(85 - 90)}^{2} + {(82 - 90)}^{2} + {(89 - 90)}^{2} + {(98 - 90)}^{2} + {(93 - 90)}^{2} + {(93 - 90)}^{2}] = \frac{86}{3}$ ，
请你求出乙同学成绩的平均成绩 $\bar{x_{2}}$ 和方差 $s_{2}^{2}$ ；

(3)、根据（2）中计算结果，分析应选择哪个同学参赛并说明理由．

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2、如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．

(1)、在如图所示的平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；

(2)、在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁；

(3)、求△ABC的面积．

(4)、设点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．

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3、四个全等的直角三角形按如图方式拼成正方形 $A B C D$ ，将四个直角三角形的短直角边（如 $E A$ ）向外延长，使得 $A A^{'} = B B^{'} = C C^{'} = D D^{'}$ ，连接 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'} ， D^{'}$ 得四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 连接 $B' C$ ．已知 $A$ 是 $A^{'} E$ 的中点， $△ B^{'} B C$ 和 $△ C C^{'} B^{'}$ 的面积之比为 $2 ： 3$ ，四边形 $A B B^{'} A^{'}$ 的面积为 $15$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积是．

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, ∠ A B C = 30 °, C D$ 平分 $∠ A C B$ ．边 $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 分别交 $C D, A B$ 于点 $D, E$ ，以下说法正确的是（）
① $∠ B A C = 60 °$ ；② $C D = 2 B E$ ；③ $D E = A C$ ；④ $\sqrt{2} C D = B C + \frac{1}{2} A B$ ．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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5、《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 $x, y$ 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 19 \\ x + 4 y = 23 \end{array}$ 在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中 $x$ 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（）

A、 $Ⅰ$ B、 $II$ C、 $III$ D、 $IIII$

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6、在直角坐标系中，等腰直角三角形 $A_{1} B_{1} O 、 A_{2} B_{2} B_{1} 、 A_{3} B_{3} B_{2} 、 \dots 、 A_{n} B_{n} B_{n - 1}$ 按如图所示的方式放置，其中点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 \dots 、 A_{n}$ 均在一次函数 $y = k x + b$ 的图象上，点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} 、 \dots 、 B_{n}$ 均在x轴上．若点 $B_{1}$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，点 $B_{2}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，则点 $A_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(2^{2022}, 2^{2022})$ B、 $(2^{2022}, 2^{2022} - 1)$ C、 $(2^{2022}, 2^{2022} + 1)$ D、 $(2^{2022} - 1, 2^{2022})$

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7、如图，如果 $A E ∥ D F$ ，求 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D$ 的度数是（）

A、 $90 °$ B、 $180 °$ C、 $300 °$ D、 $360 °$

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8、如图，直角坐标系下矩形 $O A B C$ ，点A在x轴上，点C在y轴上：

(1)、如图1，将 $△ A O C$ 沿 $A C$ 翻折得 $△ A P C$ ，
①若 $O A = \sqrt{3}$ ， $O C = 1$ ，则 $∠ A C B =$ ______度，P点坐标为______；
②若 $O A = 4$ ， $O C = 2$ ，则P点坐标为______；

(2)、如图2，点B和E的坐标分别为 $(8, 4)$ 和 $(5, 0)$ ．点F在线段 $O C$ 上，将 $△ O E F$ 沿 $E F$ 翻折，点O的对应点为P，若点P正好落在 $B C$ 边上，求点F的坐标．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，且满足 $B E = B C$ ，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，过 $B$ 点作 $B G ⊥ A E$ 于点 $G$ ，延长 $B G$ 交 $A D$ 于点 $H$ ．在下列结论中：① $A H = F D$ ；② $S_{△ A E O} = S_{△ A E F}$ ；③ $A E$ 垂直平分 $P H$ ；④ $D C = (\sqrt{2} + 1) D F$ ，其中正确的结论有(填正确的序号)．

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10、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 50 °$ ，那么 $∠ A$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $135 °$ C、 $50 °$ D、 $130 °$

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11、已知，在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，且 $D E = C E$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】
如图1，当点 $E$ 为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ ______ $D B$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、【特例启发，解决问题】
如图2，若点 $E$ 为 $A B$ 上任意一点，过 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A C$ 于 $F$ ，求证： $A E = D B$ ；

(3)、【拓展结论，设计新题】
如图3，若点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，若 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $A E = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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12、经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”．

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ，平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．求证： $△ A B C$ 是“黄金三角形”．

(2)、如图②，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，求证： $△ A B C$ 是“黄金三角形”．

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13、完全平方公式： ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a + b = 3$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
根据上面的解题思路与方法；解决下列问题：

(1)、若 $x - y = 7$ ， $x^{2} + y^{2} = 31$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 80$ ，求图中阴影部分面积．

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14、如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 均是等边三角形，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一条直线上， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $G$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，连接 $O C$ 、 $F G$ ，则下列结论：① $A E = B D$ ；② $C F = C G$ ；③ $F G ∥ B E$ ；④点 $O$ 为 $A E$ 的中点，⑤ $∠ A O B = 60 °$ ，其中正确的有．（填写序号）

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15、如图，在 $△ M P N$ 中， $H$ 是高 $M Q$ 和 $N R$ 的交点，且 $P M = H N$ ，若 $M H = 3$ ， $P Q = 4$ ，则 $Q N$ 的长为．

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16、一个零件的形状如图，按规定 $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = ∠ D = 26 °$ ，判断这个零件是否合格，只要检验 $∠ B C D$ 的度数就可以了．量得 $∠ B C D = 140 °$ ，这个零件（填“合格”或“不合格”）．

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17、在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板 $G E F$ 的顶点 $G$ 放置在直线 $A B$ 上，旋转三角板 $(∠ F = 90 °)$ ．

(1)、如图1，在 $G E$ 边上任取一点 $P$ （不同于点 $G$ ， $E$ ），过点 $P$ 作 $C D ∥ A B$ ，若 $∠ 2 = 110 °$ ，求 $∠ 1$ 的度数；

(2)、如图2，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，请探索并说明 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系；

(3)、将三角板绕顶点 $G$ 转动，过点 $E$ 作 $C D ∥ A B$ ，并保持点 $E$ 在直线 $A B$ 的上方，在旋转过程中，探索 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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18、按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形 $A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D, E$ 是 $A C$ 上一点，且 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．请说明： $D E ∥ B C$ ．
解： $∵ C D ⊥ A B$ （已知）， $∴ ∠ A D C =$ _____（_____）． $∴ ∠ 1 +$ _____ $= 90 °$ ．
$∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ （已知）， $∴ ∠ 2 =$ _____（_____）． $∴ D E ∥ B C$ （_____）．

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19、下列命题中假命题是（）

A、平移不改变图形的形状和大小 B、负数的平方根是负数 C、对顶角相等 D、在同一平面内，若 $a ∥ b, a ⊥ c$ ，则 $b ⊥ c$

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20、若一个数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为 $10 = 1^{2} + 3^{2}$ ，所以10是“完美数”，再如： $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“完美数”．

(1)、通过计算判断45是否为“完美数”；

(2)、已知 $S = 4 x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 的值．

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