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1、请说明 ${(m + n)}^{2} - 4 m n = {(m - n)}^{2}$ 一定成立的理由。

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2、先化简，再求值： $(x - 2) (3 x^{2} - 1) - 12 x (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x - 3),$ 其中 $x = - \frac{1}{5} 。$

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3、计算：

(1)、 $(- x^{2} y^{5}) \cdot {(x y)}^{3};$

(2)、4a(a-b+1)；

(3)、 $(3 a + 2) (4 a^{2} - 1);$

(4)、3x(3y-x)-(4x-3y)(x+3y)。

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4、我国新一代百亿亿次(E级)超级计算机“天河三号”原型机自开放应用以来，已为中国科学院、中国空气动力研究与发展中心等众多单位完成了大规模并行应用测试。如果按照每秒1百亿亿次的速度工作一整天，它能运算多少次?

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5、一个立方体的棱长是a³ ，这个立方体的体积是多少?

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6、计算： ${[{(- x)}^{3}]}^{2} \cdot {(x^{2})}^{3} 。$

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7、计算：

(1)、 ${(- t)}^{6} \cdot t^{2};$

(2)、 ${(a^{7})}^{6};$

(3)、 ${(a^{3} b^{2})}^{4};$

(4)、 $x^{10} - (- x) {(x^{3})}^{3} 。$

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8、生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式. $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是( $x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ 当取x=9，y=9时，各个因式的值是 $x - y = 0, x + y = 18, x^{2} + y^{2} = 162,$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码。类似地，对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2},$ 当取x=10，y=10时，用上述方法可以产生哪些六位数密码?

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9、贴福字是春节传统习俗。小明准备裁开一张长方形彩纸，为一幅边长为a的正方形福字作品镶边(如图)，要求四周边宽都为b。他应怎样确定这张长方形彩纸的长与宽，使得彩纸恰好不浪费(接缝忽略不计)?

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10、分解因式：

(1)、 $- 3 x + 6 x^{2} - 3 x^{3};$

(2)、 $0.1 a^{4} + 0.8 a^{2} + 1.6 。$

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11、在等式左边的括号内填上适当的代数式，使之成为完全平方式，再在等式右边的括号内填入适当的代数式。

(1)、x²-()+16y²=()²；

(2)、 $16 x^{4} + 24 x^{2} +$ （）=（）²

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12、分解因式：

(1)、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16};$

(2)、 $16 x^{2} + 4 x + \frac{1}{4} 。$

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13、下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )。

A、 $x^{2} + 4 y^{2}$ B、 $3 x^{2} - 4 y$ C、 $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}$ D、 $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9}$

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14、分解因式： $4 {(a - b)}^{2} - 8 a + 8 b 。$

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15、添括号(填空)：

(1)、 $- 9 a^{2} + 16 b^{2} = -$ （）；

(2)、 $b^{2} - 4 a^{2} - 4 a - 1 = b^{2} -$ （）

(3)、 $b - a + 3 {(a - b)}^{2} = -$ （） $+ 3 (a - b)$ ²。

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16、分解因式：

(1)、 $8 a^{2} b c - 4 a b;$

(2)、 $- x^{2} + 3 x 。$

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17、检验下列因式分解是否正确。

(1)、 $x^{2} + x - 12 = (x - 2) (x + 6);$

(2)、 $2 a^{2} + a b - b^{2} = (2 a - b) (a + b) 。$

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18、下列等式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解?

(1)、 $(p - 2) (p + 2) = p^{2} - 4;$

(2)、 $4 x^{2} - 4 x + 1 = {(2 x - 1)}^{2};$

(3)、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} - 1 = a (a + 2 b) + (b + 1) (b - 1)$

(4)、(a+b)(a-b)+(b-a)=(a-b)(a+b-1)。

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19、从王老师家到学校全程3.3km，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班。如果上坡路的平均速度为3km/h，平路的平均速度为4km/h，下坡路的平均速度为5km/h，那么王老师从家到学校需50分钟，从学校到家需54分钟。求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程。

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20、已知代数式 $a x^{2} + b x + c 。$ 当x=-1时，它的值为0；当x=2时，它的值为3；当x=5时，它的值为60。求a，b，c的值。

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