相关试卷

1、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - a)^{2} + b = 0 与 n (x - a)^{2} + b = 0$ ，称其为“同族二次方程”.如 $2 (x - 1)^{2} + 3 = 0 与 6 (x - 1)^{2} + 3 = 0$ 是“同族二次方程”.若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 (x - 1)^{2} + 1 = 0 与 (a + 6) x^{2} - (b + 8) x + 6 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式 $a x^{2} + b x + 2026$ 能取得的最大值是.

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2、2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率 $f_{1} 和 f_{2}$ （单位： $10^{9}$ 赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为 $x^{2} + b x + c = 0$ （其中 $b ， c$ 是实数），则可求得 $c =$ ．

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3、如图，等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 在射线 $B A$ 上，连接 $C D$ .若 $B C ， C D$ 的长为方程 $x^{2} - 15 x + 7 m = 0$ 的两根，且 $m$ 为符合题意的最大的整数，则不同位置的 $D$ 点共有个.

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4、为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中 $a$ 的值为.

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5、若方程 $x^{2} - 4112784 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 2028 ， x_{2} = - 2028$ ，则方程 $x^{2} - 2 x - 4112783 = 0$ 的两根为.

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6、一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为.

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7、若方程 $(a - 2) x^{a^{2} - 2} + 4 x + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $a$ 的值为．

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8、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列说法：①若方程有两实数根为1， $- 2$ ，则 $a x^{2} + b x + c$ 分解因式得 $a (x + 1) (x - 2)$ ；②若 $a c < 0$ ，则方程有两个不相等的实数根；③若 $a - b + c = 0$ ，则方程一定有一个根为 $- 1$ ；④若方程有两个不等于0的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 一定有两实数根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ．其中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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9、使得关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 6 x - a \geq - 10, \\ - 1 + \frac{1}{2} x < - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2} \end{array}$ 有且只有4个整数解，且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有实数根的所有整数 $a$ 的值之和为（）

A、35 B、30 C、26 D、21

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10、《代数学》中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $2 x$ 的长方形，得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3$ .”小唐按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 12 x = m$ 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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11、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{3} - 2026 x_{1} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、4 053 B、4 052 C、2 026 D、1

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12、若菱形两条对角线的长度是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、25 D、5

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13、《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 $= 10$ 尺）如果设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 4^{2} = (10 - x)^{2}$ B、 $(10 - x)^{2} + 4^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + (10 - x)^{2} = 4^{2}$ D、 $x (10 - x) = 4^{2}$

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14、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + 2028 x + a^{2} - 4 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、2或 $- 2$ D、0

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15、若方程 $2 (x^{2} - 1) + 1 = 3 x (x - 1)$ 中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 $a (a > 0), b, c$ ，则 $a + b + c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、3 D、5

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16、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = x + 2$ 相交于 $A (- 2,0), B (3, a)$ 两点，与 $x$ 轴相交于另一点 $C$ .

(1)、求抛物线的表达式.

(2)、点 $P$ 是直线 $A B$ 上方抛物线上的一个动点（不与 $A, B$ 重合），过点 $P$ 作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交直线 $A B$ 于点 $E$ ，当 $P E = 2 E D$ 时，求点 $P$ 的坐标.

(3)、抛物线上是否存在点 $M$ ，使 $△ A B M$ 的面积等于 $△ A B C$ 面积的一半？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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17、如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成 $n$ 个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏 $40 m$ .

(1)、当 $n = 4$ 时，菜园面积最大为 $m^{2}$ ；

(2)、求菜园的最大面积（用含 $n$ 的代数式表示）；

(3)、在第（2）问的条件下，存在 $n = a 和 n = b$ 时，菜园的最大面积之和为 $100 m^{2}$ ，且 $a \leq b$ ，直接写出所有满足条件的 $a ， b$ 的值.

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18、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 5 (a$ 为常数 $)$ 经过点 $(1,0)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、过点 $A (0, t) 与 x$ 轴平行的直线交抛物线于 $B, C$ 两点，且点 $B$ 为线段 $A C$ 的中点，求 $t$ 的值；

(3)、设 $m < 3 < n$ ，抛物线的一段 $y = x^{2} - a x + 5 (m \leq x \leq n)$ 夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间.若直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为16，求 $n - m$ 的最大值.

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19、已知 $(x_{1}, y_{1}) ， (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x$ （b为常数 $)$ 上的两点，当 $x_{1} + x_{2} = 0$ 时，总有 $y_{1} = y_{2}$ ．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 平移后得到抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{4} (x - m)^{2} + 1 (m > 0)$ ．当 $0 \leq x \leq 2$ 时，若抛物线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 有一个交点，求 $m$ 的取值范围．

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20、投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，投中多的为胜.小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为 $0.2 m$ 的正方形、高为 $0.5 m$ 的长方体木桶作壶，投掷点 $O$ 到壶中心的水平距离为 $4 m$ .下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的位置点 $A$ 距离地面 $1.5 m$ ，飞行到离小明的水平距离为 $1 m$ 处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中.

(1)、求出小明投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式；

(2)、小颖投掷时，箭头运动路线对应的函数表达式为 $y = - \frac{3}{20} (x - 0.9)^{2} + 1.676$ ，请判断小颖此次投掷能否成功进壶，并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，请你帮助小颖计算一下，这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向以及移动距离 $d$ 的范围.

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