相关试卷

1、通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)、【模型呈现】如图1， $∠ B A D = 90 ° ， A B = A D$ ，过点B作 $B C ⊥ A C$ 于点C，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于点E．由 $∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 2 + ∠ D = 90 °$ ，得 $∠ 1 = ∠ D$ ．又 $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，可以推理得到 $△ A B C ≌ △ D A E$ ．进而得到 $A C =$ ， $B C =$ ．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)、[模型应用]如图2， $A E ⊥ A B 且 A E = A B ， B C ⊥ C D 且 B C = C D$ ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积．

(3)、[深入探究]如图3， $∠ B A D = ∠ C A E = 90 ° ， A B = A D ， A C = A E$ ，连接 $B C ， D E$ ，且 $B C ⊥ A F$ 于点F， $D E$ 与直线 $A F$ 交于点G．求证：点G是 $D E$ 的中点．

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2、在学习乘法公式时，甲同学发现 $a + b, a - b, a^{2} + b^{2}, a b$ 这四个代数式之间是有关系的，即 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2} ， {(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = 4 a b ， {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ ．请利用上述关系并结合所学知识解决以下问题：

(1)、已知 $a + b = 6, a^{2} + b^{2} = 20$ ，求 $a b$ 的值．

(2)、已知 $m n = 3, m^{2} + n^{2} = 31$ ，求 $m - n$ 的值．

(3)、已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} 和 x^{4} - \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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3、如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得 $A C = D F ， A C ∥ D F ， ∠ A = ∠ D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D F E$ ；

(2)、若 $B E = 20 m ， B F = 6 m$ ，求 $C F$ 的长．

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4、如图，有两条国道相交于点O，在 $∠ A O B$ 的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到 $O A 、 O B$ 的距离相等，且 $P C = P D$ ，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法）

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5、计算：

(1)、 ${(- 3)}^{2} + {(3 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 $(2 x + y) (2 x - y) - y (x - y)$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D在 $A B$ 右下方， $∠ A D B = ∠ A C B$ ．过点C作 $A D$ 的平行线交 $B D$ 于点F，过A作 $A E ⊥ B D$ ，垂足E在线段 $D F$ 上．若 $D E = 3 ， E F = 1$ ，则 $C D$ 的长为， $B F$ 的长为．

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7、在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为边 $B C$ 上的高， $∠ A B C = 30 ° ， ∠ C A D = 20 °$ ，则 $∠ B A C$ 是度．

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8、要使分式 $\frac{1}{- x + 3}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C 和 ∠ A B C$ 的平分线 $A E ， B F$ 相交于点 $O ， A E 交 B C 于 E ， B F 交 A C 于 F$ ，过点 $O 作 O D ⊥ B C 于 D$ ，下列四个结论：①点 $O 到 △ A B C$ 的三个顶点的距离相等；② $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；③当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ；④若 $O D = a ， A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ ．其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，已知点D，E，F分别为边 $B C, A D, C E$ 的中点，且 $△ A B C$ 的面积等于 ${28cm}^{2}$ ，则阴影部分图形面积等于（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、若分式方程 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{x - a}{x - 2}$ 有增根，则a的值为（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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12、对某校701班和702班的学生“最喜爱的课后拓展课程”进行统计，分别绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（）

A、701班中最喜欢无人机的人数比最喜欢编程的人数多 B、701班中最喜欢足球的人数与702班中最喜欢足球的人数一样多 C、702班中表示最喜欢编程人数的扇形的圆心角度数为 $105 °$ D、702班中最喜欢健美操的人数和最喜欢足球的人数一样多

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13、下列变形是因式分解的是（　　）

A、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ B、 $x^{2} + 6 x + 4 = {(x + 3)}^{2} - 5$ C、 $x^{2} + x y - 3 = x (x + y) - 3$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$

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14、下列计算正确的是（）

A、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ C、 $a^{5} - a^{3} = a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$

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15、中国科技企业聚力创新，从芯片、终端到新能源，以硬核技术擦亮中国制造名片．下列企业的图标中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、【阅读理解】
如图1， $△ A B C$ 中，若 $A B = 10$ ， $A C = 8$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的理由是______；
A． $SSS$ B． $SAS$ C． $AAS$ D． $ASA$ ．
（2）连接 $B E$ ，利用三角形的三边关系可以确定 $A E$ 的取值范围，从而可以得到 $A D$ 的取值范围是_______________；
【方法总结】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中；
【问题解决】
（3）如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = A E$ ， $A C = A F$ ， $∠ B A E + ∠ C A F = 180 °$ ，试判断线段 $A D$ 与 $E F$ 的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若 $∠ B A E = ∠ C A F = 90 °$ ，延长 $D A$ 交 $E F$ 于点 $G$ ， $A D = 2$ ， $A G = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为_____．

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17、我们知道，将一个三角形的其中一个角撕下来，拼到另一个角的旁边，可以得到三角形三个内角的和为 $180 °$ ．小明认为，不用撕角，利用尺规作平行线也可以说明这个结论．如图， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角．

(1)、利用尺规作过点 $A$ 的直线 $D E$ ，使 $D E ∥ B C$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、试说明 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ ．

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18、如图，点C在点B的北偏西 $60 °$ 方向上，点C在点A的北偏西 $30 °$ 方向上，点B在点A的北偏东 $30 °$ 方向上．

(1)、求 $∠ A B C$ 的大小；

(2)、求 $∠ C$ 的大小．

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19、如图， $A D = A B$ ， $B C = D C$ ．

(1)、求证： $△ D A C ≌ △ B A C$ ；

(2)、求证： $D E = B E$ ．

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20、如图， $A B ⊥ C D$ ，垂足为B， $∠ A = ∠ C$ ．则 $△ C D E$ 为__________角三角形（填：锐，直，钝），并说明理由．

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