相关试卷

1、如图所示，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 内接四边形， $∠ A D C = 90 °$ ， $D A = D B$ ，点E为 $\overset{⌢}{A D}$ 上一点，且 $A E = C D$ ．

(1)、尺规作图：作线段 $A E$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证： $∠ E A D + ∠ A D B = 90 °$ ；

(3)、若 $A D = 3 C D = 3$ ，求 $△ A B D$ 的面积．

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2、某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件39元．

(1)、若降价2元，每星期可以卖出多少件该商品？

(2)、若要每星期获利6480元，应该涨价多少元？

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3、已知①号盒子中有2个白球、1个黄球，②号盒子中有m个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．

(1)、若从②号盒子中随机取出1个球，它是黄球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，求m的值；

(2)、在（1）的条件下，分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率．

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4、如图，已知函数 $y_{1} = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， B两点，过点B的直线 $y_{2} = k x + b$ 与抛物线在第二象限交于点C．

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为10，结合图象，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，求x的取值范围．

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，每个小正方形的顶点叫做格点， $△ O B C$ 的三个顶点都在格点上．

(1)、将 $△ O B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ O B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ O B_{1} C_{1}$ ；

(2)、以 $O$ 为位似中心，在位似中心异侧把 $△ O B C$ 放大到原来的 $2$ 倍，得到 $△ O B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ O B_{2} C_{2}$ ．

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6、如图，已知点 $A (3, 0)$ ， $⊙ O$ 的半径为2，点P为 $⊙ O$ 上一动点，将线段 $A P$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A Q$ ．
（1）当点P落在x轴正半轴上时，点Q的坐标为；
（2）连接 $O Q$ ，当点P在 $⊙ O$ 上运动时， $O Q$ 的最大值为．

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7、通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）：
滑行时间t/秒
0
1
2
3
4
滑行距离s/米
0
58.5
114
166.5
216
根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行秒时停下来．

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8、“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）

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9、若 $A (- 3, 2)$ ，则点A关于原点的对称点的坐标为．

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10、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线： $x = - 2$ ，下列说法：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b \leq t (a t + b)$ （t为全体实数）；③ $c > 3 a$ ；④若 $A (m, y_{1})$ 和 $B (m + 1, y_{2})$ 为图象上两点，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m < - \frac{5}{2}$ ．其中正确的是（）

A、②③ B、②④ C、③④ D、①②

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11、形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积： $33 + 4 \times 2^{2} = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 2 \times 2 = 3$ ，羊羊同学按此方法解关于x的方程 $x^{2} + m x = 64 (m > 0)$ 时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是线段 $A C$ 上一点， $A E : C E = 1 : 2$ ，过点 $C$ 作 $C D ∥ A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $D$ ，若 $△ A B E$ 的面积等于 $4$ ，则 $△ B C D$ 的面积等于（）

A、8 B、16 C、24 D、32

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13、北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会，如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品，转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角 $∠ A O B$ 的度数近似为（）

A、 $90 °$ B、 $72 °$ C、 $54 °$ D、 $20 °$

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14、如图， $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ， $A D$ 经过圆心 $O$ ，若 $∠ D = 30 °$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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15、如图，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转后得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，且点 $B^{'}$ 恰好落在边 $A B$ 上，若 $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ A^{'} C A =$ （）

A、 $35 °$ B、 $70 °$ C、 $20 °$ D、 $40 °$

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16、将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段．
【阅读材料】
“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以 $1 m / s$ 的速度自西向东运动，乙木块以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以 $2 m / s$ 的速度自东向西运动，乙木块立即变为 $1 m / s$ 的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换．
【情境呈现】
如图1，在一个长 $20 dm$ 的轨道上，两个小铁球分别以 $4 dm / s$ 、 $1 dm / s$ 的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道．
【情境转化】
为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点 $P$ 从原点 $O$ 点出发，沿正方向以4个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动，点 $Q$ 从 $A$ 点出发，沿负方向以1个单位长度 $/ s$ 的速度匀速运动．若点运动到线段 $O A$ 之外，则认为小球离开轨道．已知 $O A = 20$ ．
【问题解决】
若两小球（ $P$ 、 $Q$ 两点）同时出发， $P$ 、 $Q$ 两点在轨道上的运动时间分别为 $t_{P}$ 、 $t_{Q}$ 秒，请回答以下问题：

(1)、如图3，两小球第一次相遇时， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．根据计算，我们可以得知 $Q$ 点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间， $t_{P} = t_{Q} =$ _____．

(2)、如图4，在 $A$ 点所在位置放置挡板，则 $Q$ 点代表的小球在到达 $A$ 点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时 $t_{P}$ 的值．

(3)、在（2）的条件下，将轨道沿射线 $A O$ 的方向进行延长，设延长至 $B$ 点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即 $O B$ 的长度为何值时），才能使得 $t_{Q} = 3 t_{P}$ ？

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17、类比用字母表示数，我们用“ $°$ ”来表示某种运算．对于任意元素a，b，若 $a ° b = b ° a$ ，那么这种运算满足交换律；若存在元素 $e$ ，满足 $a ° e = e ° a = a$ ，则称 $e$ 为“ $°$ 运算”下的单位元；若两个元素经过“ $°$ 运算”后得到单位元，则这两个元素互为“ $°$ 运算”下的逆元．
例如，在有理数范围内，加法满足交换律，减法则不满足交换律，加法运算下的单位元是0，互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元．

(1)、在有理数范围内，乘法运算下的单位元是_____， $- 5$ 在乘法运算下的逆元是_____；

(2)、若 $a$ ， $b$ 表示两个有理数，定义运算“*”，其运算法则为： $a * b = 2 a b - a - b + 1$ ，例如，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ，则 $a * b = 2 \times 2 \times 3 - 2 - 3 + 1 = 8$ ，
①“*运算”是否满足交换律_____．（填“是”或“否”）；
②求出“*运算”下的单位元；
③是否存在有理数在“*运算”下不存在逆元？若有，求出这个（些）数；若没有，请说明理由．

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18、每年春节都是相聚的重要时刻，2025年春节即将到来，在深圳工作学习的人们开始进行春节的规划．七（1）班的 $m$ 位同学接受了“春节团聚调查”，他们需要从“高铁回家”、“飞机回家”、“自驾回家”及“留深”这四种情况中选择一种，最终的调查结果被绘制成如下所示的两幅不完整的统计图．

(1)、根据图中信息求出 $m =$ _____； $n =$ _____．

(2)、请把条形统计图补充完整；

(3)、“高铁回家”对应的扇形统计图圆心角大小为_____°；

(4)、该校学生人数共2700人，请根据七（1）班调查结果估计有多少名学生选择“回家”（包含高铁回家”、“飞机回家”及“自驾回家”）？

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19、如何解关于

x

的一元一次方程

2 (x + 2) + 1 = 7

呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路．

小明的思路

去括号，得： $2 x + 4 + 1 = 7$

移项，合并同类项，得： $2 x = 2$

方程的两边都除以2，得： $x = 1$

小暗的思路

移项，合并同类项，得： $2 (x + 2) = 6$ ……第1步

方程的两边都除以2，得： $x + 2 = 3$ ……第2步

移项，合并同类项，得： $x = 1$ ……第3步

经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程 $2 m + 1 = 7$ ，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得 $m = 3$ ，这刚好对应了 $x + 2 = 3$ ．小暗认为，方程 $2 (x + 2) + 1 = 7$ 中的“ $(x + 2)$ ”就相当于方程 $2 m + 1 = 7$ 中的“ $m$ ”．

请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可：

(1)、解方程

\frac{4 x - 6}{3} + 1 = \frac{4 x - 6}{4}

(2)、若

x = 1

是关于

x

的方程

a x - 7 = 8 x - a

的解，请你求出关于

y

的方程

a (2 y + 9) - 7 = 8 (2 y + 9) - a

的解．

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20、（1）计算 $- 1^{2024} \times |1 - 3| + 2 \div {(\frac{1}{2})}^{3}$ ；
（2）先化简，再求值： $3 a^{2} + 6 a b - 2 (a^{2} + 3 a b - 3 b)$ ，其中 $|a + 2| + {(b - 3)}^{2} = 0$

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滑行时间t/秒	0	1	2	3	4
滑行距离s/米	0	58.5	114	166.5	216