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1、如图,以为直径的经过的顶点 , 经过点的切线与的延长线交于点于点是的中点,连接 .
(1)、求证: .(2)、若 , 求的长. -
2、2025年1月14日,教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》(以下简称《指南》),旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲,培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体.某校为落实《指南》要求,准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团(每名学生必选且仅选一个社团).为了解学生参加各社团的意向,现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查,并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析,部分信息如下:

请根据以上信息,解答下列问题:
(1)、本次调查的样本容量为 , 并将条形统计图补充完整;(画图后请标注相应的数据)(2)、若该校七年级共有1000名学生,请估计计划参加“机器人”社团的学生人数;(3)、请用画树状图或列表法,求甲,乙两同学都没有选择“打印”的概率. -
3、按要求计算:(1)、计算:;(2)、先化简,再求值 , 其中 .
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4、如图,在中, , , 以点为圆心,以任意长为半径画弧,交于点 , 交于点 , 再分别以、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧交于点 , 连接并延长交于点 . 则下列说法:①平分;②;③点在的垂直平分线上;④若 , 则;⑤是轴对称图形.其中正确的说法有(填序号).

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5、如图, , 若 , , 则的度数为 .

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6、已知 , , 则代数式的值为 .
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7、式子在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 .
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8、学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练.在直线跑道上,甲同学从处匀速跑向处,乙同学从处匀速跑往处,两人同时出发,到达各自终点后立即停止运动.设甲同学跑步的时间为(秒),甲、乙两人之间的距离为(米),与之间的函数关系如图所示,则下列说法错误的是( )
A、甲、乙同学的速度和为10米/秒 B、甲、乙同学在8秒时相遇 C、甲同学的速度为5米/秒 D、 -
9、手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表.
材料
类别
彩色纸(张)
细木条(捆)
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的两种手工艺品各有多少个?设手工艺品A有x个,手工艺品B有y个,则x和y满足的方程组是( )
A、 B、 C、 D、 -
10、下列命题是真命题的是( )A、五边形有五条对角线 B、相似图形一定是位似图形 C、矩形的对角线互相垂直且相等 D、中位数一定是这组数据中的某一个数
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11、乐高,创立于1932年,公司位于丹麦,全球知名的玩具制造厂商之一.截至2025年,乐高已有93年的发展历史.如图是乐高的一个块状颗粒,它的主视图是( )
A、
B、
C、
D、
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12、在平面直角坐标系中,将点关于轴对称后,得到对应点的坐标是( )A、 B、 C、 D、
-
13、下列运算正确的是( )A、 B、 C、 D、
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14、如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息,其中日温差最大的一天是( )
12月14日
12月15日
12月16日
12月17日




晴
晴
晴
多云
A、12月14日 B、12月15日 C、12月16日 D、12月17日 -
15、【模型呈现】
(1)、如图1,点A在直线l上,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥l于点C,过点D作DE⊥l于点E,由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠DEA=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC= , BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型;(2)、【模型体验】如图2,在△ABC中,点D为AB上一点,DE=DF=3,∠A=∠EDF=∠B,四边形CEDF的周长为10,△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD,进而得到AE=BD,AD=BF,那么AB=AE+BF,再根据题目中周长信息就可得AB=;
(3)、【模型拓展】如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系,并写出证明过程:
(4)、【模型应用】如图4,已知在矩形ABCD中,AB=14,BC=7,点E在CD边上,且DE=4.P是对角线AC上一动点,Q是边AD上一动点,且满足当P在AC上运动时,请求线段AQ的最大值,并求出此时线段AP的长度.
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16、代数推理
我们约定:若一个点的纵坐标是横坐标的一半,则称这个点为“减半点”,若一个函数图象上至少存在一个“减半点”,则称该函数为“减半函数”.
(1)、函数是“减半函数”吗?如果是,请求出它的一对“减半点”,如果不是,请说明理由;(2)、求函数图象上的“减半点”;(3)、若抛物线G:图象上存在唯一的“减半点”.①求抛物线G的解析式;
②若抛物线G向上平移个单位长度,得到抛物线H,作直线x=t交抛物线H于点A,作直线x=2t+1交抛物线H于点B,连接AB,若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点,求t的值.
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17、综合与实践
【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔,是当地标志性古建筑。某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度
【实践探究】下面是两个方案及测量数据:
项目
测量熙春塔的高度
方案
方案一:借助太阳光线构成相似三角形.测量:标杆长CD,影长ED,塔影长DB.
方案二:利用锐角三角函数.测量:距离CD,仰角α,仰角β.
测量示意图


测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
测量项目
第一次
第二次
平均值
CD
1.61m
1.59m
1.6m
β
26.4°
26.6°
26.5°
ED
1.18m
1.22m
1.2m
α
37.1°
36.9°
37°
DB
38.9m
39.1m
39m
CD
34.8m
35.2m
35m
【问题解决】
(1)、根据“方案一”的测量数据,直接写出熙春塔AB的高度;(2)、根据“方案二”的测量数据,求出熙春塔AB的高度;(参考数据:cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50)(3)、请对本次实践活动进行评价(一条即可). -
18、【项目背景】《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底,赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵,成为中华文化创造性转化的典范.春节档上映后便火爆出圈,成为唯一一部跻身全球影史票房榜前50的非好莱坞影片,某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度.
【数据收集与整理】
他们随机抽取了一些观众进行调查评分(满分10分,A:6分,B:7分,C:8分,D:9分,E:10分),并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题:
(1)、【数据分析与应用】补全上面的条形统计图,本次问卷中,众数是 ▲ ;
(2)、某市共有3600名观众观看该影片,请问该市大约有多少人评分达9分及以上.(3)、此次调查E组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生,同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受,请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率. -
19、春天是放风筝的季节,清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景:“草长莺飞二月天”,“忙趁东风放纸鸢”.我们研究的四边形中有一种叫筝形,如图1所示.
【筝形的定义】:两组邻边分别相等的四边形.即:若四边形ABCD满足AB=AD且CB=CD,则四边形ABCD为筝形.
(1)、【任务1】如图2是由小正方形组成的10×5网格图,在网格中仅用无刻度的直尺和笔,画出一个顶点在格点的筝形EFGH;(2)、【任务2】探究筝形的性质:结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质,并选其中一条性质进行证明. -
20、古秤是中国传统计量工具,核心是“杠杆原理”,最常见是杆秤。如图,我们可以用秤砣到秤纽(秤杆上手提的部分)的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤钩所挂物重为x斤,秤砣到秤纽的水平距离为ycm,则y与x满足一次函数的关系.下表为若干次称重时所记录的一些数据:
x(斤)
1
2
3
4
5
6
7
y(cm)
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
(1)、应用你学的函数知识,用函数解析式表示y与x的关系;(2)、在不超重的情况下,当x=10时,求对应的水平距离y的值.