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1、《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子AB的高度．(注：1丈 $= 10$ 尺)

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2、图①、图②、图③中的网格均是由边长为1的小正方形组成，已知 $A B$ 是格点线段．可以用如下方法构造线段 $A B$ 的中点．如图①，在网格上取格点 $C$ 、 $D$ ，使得 $A C ∥ B D$ ，且 $A C = B D$ ，连结 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．点 $E$ 即为线段 $A B$ 的中点．理由如下：
$∵ A C ∥ B D$ ，
$∴ ∠ C A E = ∠ D B E$ ， $∠ A C E = ∠ B D E$ ．
在 $∆ A C E$ 和 $∆ B D E$ 中，
$∵ ∠ C A E = ∠ D B E$ ， $A C = B D$ ， $∠ A C E = ∠ B D E$ ，
$∴ ∆ A C E ≅ ∆ B D E$ （A.S.A.）
$∴ A E = B E$ ．（数学理由）
即点 $E$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、填写材料中的数学理由：；

(2)、请你在图②中利用点 $C$ 的位置和上述方法找到线段 $A B$ 的中点 $M$ ；

(3)、请你在图③中找到线段 $A B$ 的中点 $M$ ．

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3、在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知 $a^{m} = 4$ ， $a^{m + n} = 20$ ，求 $a^{n}$ 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即 $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ，所以 $20 = 4 \times a^{n}$ ，所以 $a^{n} = 5$ ．
请你也利用逆向思考的方法解决下列问题：

(1)、若 $a^{m} = 12$ ， $a^{m - n} = 6$ ，求 $a^{n}$ 的值；

(2)、计算： $(- 2)^{2025} \times {(\frac{1}{2})}^{2026}$

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4、先化简，再求值： $(x + y)^{2} - 2 x (y - x) + y^{2}$ ，其中 $x = \sqrt{3}$ ， $y = \sqrt{2}$ ．

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5、计算： $\sqrt[3]{27} - | 1 - \sqrt{2} | + 1$ ．

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6、如图，四边形 $A B C D$ 沿直线 $l$ 对折后重合，如果 $A D ∥ B C$ ，则下面四个结论：
① $A B ∥ C D$ ； ② $A B = C D$ ； ③ $A B ⊥ C D$ ； ④ $A O = O C$ ．
上述结论中，正确结论的序号有．

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7、开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯．如图，这是一段楼梯的侧面，它的高 $B C$ 是3米，斜边 $A B$ 是5米，则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为米．

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8、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 $A C$ 与右边滑梯水平方向的跨度 $D F$ 相等. 这两个滑梯的倾斜角是 $∠ C B A$ 和 $∠ E F D$ . 若 $∠ C B A = 23 °$ ，则 $∠ E F D =$ $°$ ．

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9、如图，从一个边长为 $a$ 的大正方形纸板挖去一个边长为 $b$ 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算甲、乙两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为( )

A、 $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$ B、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ C、 $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} = (a - b)^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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10、如图，在 $∠ A O B$ 中，以 $O$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交边 $O A$ 、 $O B$ 于点 $M$ 、 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ，作射线 $O C$ 。点 $P$ 是 $O C$ 上任意一点， $P D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，点 $Q$ 是边 $O B$ 上任意一点，连结 $P Q$ 。若 $P D = 6$ ，则下列选项中正确的是( )

A、 $P Q > 6$ B、 $P Q \geq 6$ C、 $P Q < 6$ D、 $P Q \leq 6$

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11、如图， $A E ∥ F D$ ， $A E = F D$ .要使 $∆ E A C ≅ ∆ F D B$ ，可以添加下列选项中的( )

A、 $A B = B C$ B、 $E C = B F$ C、 $∠ A = ∠ D$ D、 $A B = C D$

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12、将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是( )

A、4，5，6 B、5，8，12 C、6，8，10 D、6，7，8

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13、如果一个等腰三角形的顶角为 $70 °$ ，那么它的一个底角的度数为( )

A、 $70 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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14、下列运算中，结果正确的是( )

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $(2 a^{2})^{3} = 2 a^{6}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $(a^{2})^{3} = a^{6}$

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15、下列实数中，是无理数的是( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $- \sqrt{4}$ D、0.101001

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16、 4的平方根是( )

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 2$

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17、如图，抛物线y= $\frac{1}{2}$ x²+bx+c与直线y= $\frac{1}{2}$ x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（-3，0）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值；

(3)、点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=0.25．

(1)、求tan∠ACE；

(2)、设AF=x，GH=y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；

(3)、当∠ADF=∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．

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19、如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ABC和∠CDE是直角，B、C、E三点共线，连接AE和BD，相交于点F，AE交CD于点O.求证：

(1)、△BCD∽△ACE；

(2)、OC²=OA•OF.

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20、宜宾五粮液集团公司的鹏程广场有五粮液标志性建筑物——五粮液瓶楼，2003年被世界基尼斯评定为“全球规模最大的实物广告”.小张学习了解直角三角形后，想用所学知识测量五粮液瓶楼的高度.在垂直地面的五粮液瓶楼前阶梯下有一广场，小张在阶梯CD前26米A处（AC=26米）测得瓶楼顶B的仰角为45°，走上阶梯CD，在D处测得瓶楼顶B的仰角为60°，又知道阶梯CD的坡度i=1：2，阶梯CD的坡面长度为 $(\sqrt{5} + 2 \sqrt{5}) \times 2 = 6 \sqrt{5}$ 米，请你帮小张算算.

(1)、求阶梯CD的垂直高度；

(2)、求瓶楼高度.

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