相关试卷

1、第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区 $C D$ 所在水平线为 $x$ 轴，过起跳点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线为 $y$ 轴， $O$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡 $A C$ 的坡角为 $30 °$ ， $O A = 65 m$ ，某运动员在 $A$ 处起跳腾空后，飞行至着陆坡的 $B$ 处着陆， $A B = 100 m$ ．在空中飞行过程中，运动员到 $x$ 轴的距离 $y (m)$ 与水平方向移动的距离 $x (m)$ 具备二次函数关系，其解析式为 $y = - \frac{1}{60} x^{2} + b x + c$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离 $x (m)$ 与飞行时间 $t (s)$ 具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时， $t = 0$ ， $x = 0$ ；空中飞行 $5 s$ 后着陆．
①求 $x$ 关于 $t$ 的函数解析式；
②当 $t$ 为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离 $h$ 最大，最大值是多少？

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2、已知 $Δ A B C$ 是等边三角形，点 $B$ ， $D$ 关于直线 $A C$ 对称，连接 $A D$ ， $C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、在线段 $A C$ 上任取一点 $P$ （端点除外），连接 $P D$ ．将线段 $P D$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，使点 $D$ 落在 $B A$ 延长线上的点 $Q$ 处．请探究：当点 $P$ 在线段 $A C$ 上的位置发生变化时， $∠ D P Q$ 的大小是否发生变化？说明理由．

(3)、在满足（2）的条件下，探究线段 $A Q$ 与 $C P$ 之间的数量关系，并加以证明．

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $B$ 为切点，直线 $A O$ 交 $⊙ O$ 于 $C$ ， $D$ 两点，连接 $B C$ ， $B D$ ．过圆心 $O$ 作 $B C$ 的平行线，分别交 $A B$ 的延长线、 $⊙ O$ 及 $B D$ 于点 $E$ ， $F$ ， $G$ ．

(1)、求证： $∠ D = ∠ E$ ；

(2)、若 $F$ 是 $O E$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为3，求阴影部分的面积．

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4、杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力 $\times$ 阻力臂 $=$ 动力 $\times$ 动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图 $1)$ ．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度 $1 c m)$ ，确定支点 $O$ ，并用细麻绳固定，在支点 $O$ 左侧 $2 c m$ 的 $A$ 处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为 $0.5 k g$ 的金属物体作为秤砣．

(1)、图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时， $O B$ 的长度随之变化．设重物的质量为 $x$ $k g$ ， $O B$ 的长为 $y$ $c m$ ．写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；若 $0 < y < 48$ ，求 $x$ 的取值范围．

(2)、调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点 $O$ 右侧的 $B$ 处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为 $x$ $k g$ ， $O B$ 的长为 $y$ $c m$ ，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
$x / k g$
$\dots \dots$
0.25
0.5
1
2
4
$\dots \dots$
$y / c m$
$\dots \dots$
    ▲
    ▲
    ▲
    ▲
    ▲
$\dots \dots$

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5、如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“

Y

”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容	测量主塔顶端到桥面的距离
成员	组长： $\times \times \times$ 组员 $\times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times$
测量工具	测角仪，皮尺等
测量示意图		说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $B$ 在同一条直线上， $E F ⊥ A B$ ，点 $A$ ， $C$ 分别与点 $B$ ， $D$ 关于直线 $E F$ 对称．
测量数据	$∠ A$ 的大小	$28 °$
	$A C$ 的长度	$84 m$
	$C D$ 的长度	$12 m$

请利用表中提供的信息，求主塔顶端 $E$ 到 $A B$ 的距离（参考数据： $s i n 28 ° \approx 0.47$ ， $c o s 28 ° \approx 0.88$ ， $t a n 28 ° \approx 0.53)$ ．

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6、省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位： $k g) :$
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2

(1)、图1中， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量 $W$ （单位： $k g)$ 落在内的可能性最大；
$A . 800 ⩽ W < 805$
$B . 805 ⩽ W < 810$
$C . 810 ⩽ W < 815$
$D . 815 ⩽ W < 820$

(3)、观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．

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7、计算：

(1)、 $- 2^{3} \div \frac{4}{9} \times (\frac{1}{6} - \frac{1}{3})$ ；

(2)、 $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$ ．

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8、如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ 的坐标分别是 $A (0, 2)$ ， $B (2, - 1)$ ．平移 $Δ A B C$ 得到△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，则点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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9、甲、乙两车从 $A$ 城出发前往 $B$ 城，在整个行程中，汽车离开 $A$ 城的距离 $y$ （单位： $k m)$ 与时间 $x$ （单位： $h)$ 的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是 $($ 　　 $)$

A、甲车行驶到距 $A$ 城 $240 k m$ 处，被乙车追上 B、 $A$ 城与 $B$ 城的距离是 $300 k m$ C、乙车的平均速度是 $80 k m / h$ D、甲车比乙车早到 $B$ 城

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10、将 $5 k g$ 浓度为 $98 %$ 的酒精，稀释为 $75 %$ 的酒精．设需要加水 $x$ $k g$ ，根据题意可列方程为 $($ 　　 $)$

A、 $0.98 \times 5 = 0.75 x$ B、 $\frac{0.98 \times 5}{5 + x} = 0.75$ C、 $0.75 \times 5 = 0.98 x$ D、 $\frac{0.75 \times 5}{5 - x} = 0.98$

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11、如图，在 $Δ A B C$ 中， $D E / / B C$ ， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，若 $A C = 6$ ，则 $E C = ($ $)$

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $\frac{24}{5}$

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12、满足 $m > | \sqrt{10} - 1 |$ 的整数 $m$ 的值可能是 $($ 　　 $)$

A、3 B、2 C、1 D、0

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13、如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是 $($ 　　 $)$

A、 $900 °$ B、 $720 °$ C、 $540 °$ D、 $360 °$

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14、 $- 2$ 的相反数是 $($ 　　 $)$

A、 $\pm 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5 c m$ ， $B C = 3 c m$ ，将 $Δ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $Δ A D E$ ，连接 $C D$ ．点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B A$ 方向匀速运动、速度为 $1 c m / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ． $P Q$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $C P$ ， $E Q$ ，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 5)$ ．解答下列问题：

(1)、当 $E Q ⊥ A D$ 时，求 $t$ 的值；

(2)、设四边形 $P C D Q$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

(3)、是否存在某一时刻 $t$ ，使 $P Q / / C D$ ？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16、李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元 $/$ 千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元 $/$ 千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

(1)、请求出这种水果批发价 $y$ （元 $/$ 千克）与购进数量 $x$ （箱 $)$ 之间的函数关系式；

(2)、若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

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17、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $B D$ 上， $B E = E F = F D$ ， $∠ B A F = ∠ D C E = 90 °$ ．

(1)、求证： $Δ A B F ≅ Δ C D E$ ；

(2)、连接 $A E$ ， $C F$ ，已知 ▲ （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形 $A E C F$ 的形状，并证明你的结论．
条件①： $∠ A B D = 30 °$ ；
条件②： $A B = B C$ ．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

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18、如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴正半轴相交于点 $C$ ，与反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象在第二象限相交于点 $A (- 1, m)$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ， $A D = C D$ ．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、已知点 $E (a, 0)$ 满足 $C E = C A$ ，求 $a$ 的值．

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19、【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在 $Δ A B C$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $B C$ 和 $B^{'} C^{'}$ 边上的高线，且 $A D = A^{'} D^{'}$ 、则 $Δ A B C$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用 $S_{Δ A B C}$ ， $S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}}$ 分别表示 $Δ A B C$ 和△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积，
则 $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A D$ ， $S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{2} B^{'} C^{'} \cdot A^{'} D^{'}$ ，
$∵ A D = A^{'} D^{'}$
$∴ S_{Δ A B C} : S_{△ A^{'} B^{'} C^{'}} = B C : B^{'} C^{'}$ ．
【性质应用】

(1)、如图②， $D$ 是 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上的一点．若 $B D = 3$ ， $D C = 4$ ，则 $S_{Δ A B D} : S_{Δ A D C} =$ ；

(2)、如图③，在 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ 和 $A B$ 边上的点．若 $B E : A B = 1 : 2$ ， $C D : B C = 1 : 3$ ， $S_{Δ A B C} = 1$ ，则 $S_{Δ B E C} =$ ， $S_{Δ C D E} =$ ；

(3)、如图③，在 $Δ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ 和 $A B$ 边上的点．若 $B E : A B = 1 : m$ ， $C D : B C = 1 : n$ ， $S_{Δ A B C} = a$ ，则 $S_{Δ C D E} =$ ．

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20、孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐

\dots

各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：

学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表

组别	时长 $t$ （单位： $h)$	人数累计	人数
第一组	$1 ⩽ t < 2$	正正正正正正	30
第二组	$2 ⩽ t < 3$	正正正正正正正正正正正正	60
第三组	$3 ⩽ t < 4$	正正正正正正正正正正正正正正	70
第四组	$4 ⩽ t < 5$	正正正正正正正正	40

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第组；

(3)、若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为，对应的扇形圆心角的度数为

°

；

(4)、学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于

2 h

，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？

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$x / k g$	$\dots \dots$	0.25	0.5	1	2	4	$\dots \dots$
$y / c m$	$\dots \dots$	▲	▲	▲	▲	▲	$\dots \dots$