相关试卷

1、如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点E在边 $B C$ 上， $B E = E C$ ，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 对折至 $△ D F E$ ，延长 $E F$ 交边 $A B$ 于点G，连接 $D G$ 、 $B F$ ，给出以下结论：① $△ D A G ≌ △ D F G$ ；② $B G = 2 A G$ ；③ $S_{△ D G F} = 120$ ；④ $B F ∥ D E$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， P是 $A D$ 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作 $A C$ 和 $B D$ 的垂线，垂足为E，F，则 $P E + P F$ 的值为（　　）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、5 D、 $\frac{24}{5}$

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3、为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

A、2a² B、3a² C、4a² D、5a²

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4、2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中， $A (- 1, 3)$ 、 $B (1, 2)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(- 2, 1)$

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 10$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A C + B D = 22$ ，则 $△ B O C$ 的周长为（）

A、 $20$ B、 $21$ C、 $22$ D、 $23$

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6、下列命题是真命题的是（）

A、有一组对边平行的四边形是平行四边形 B、有一个角是直角的四边形是矩形 C、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D、有一组邻边相等的四边形是菱形

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7、如果 $P (m, m + 3)$ 在 $x$ 轴上，那么点 $P$ 坐标是（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(0, - 3)$

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8、铜仁市2026年创建全国文明城市期间，为推广“垃圾入桶”文明行为，市政部门在城区主干道旁设置了一批分类垃圾桶．如图，四边形 $A B C D$ 是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图 $A D ∥ B C$ ，若 $∠ 1 = 124 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数是（）

A、 $56 °$ B、 $66 °$ C、 $76 °$ D、 $124 °$

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9、已知一个多边形是正五边形，则这个正五边形的每个内角是（）

A、 $90 °$ B、 $108 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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10、2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 $F$ 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，中国航天取得了举世瞩目的成就．下面是有关我国航天领域的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、阅读下面的材料：
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
例如： $a^{2} + a = a (a + 1)$ ， $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，都把一个多项式进行了因式分解．
现有图1中的A、B、C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例如：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，即多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 因式分解的结果为 ${(a + b)}^{2}$ ．
请回答下列问题：
【小试牛刀】
（1）根据图3拼图，多项式 $a^{2} + 3 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果是．
【自主探索】
（2）请利用图1中三种型号的卡片若干张，拼出一个面积为 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 的长方形（无空隙，不重叠），在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 因式分解的结果；
【拓展应用】
（3）①某草坪草皮铺设完工后，由于维护不当，草坪被走出了一条宽为 $b$ 的均匀泥路（如图5），你能求出剩余草皮面积吗？
②公园为了更美观，打算购买一些新的草皮与剩余的草皮重新切割，设计成一个全新的正方形草坪，现有A、B、C三种型号的草皮可以购买（如图1），在不浪费草皮的情况下，请设计一种购买方案，并求出此时的正方形边长（边长必须为整式）．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ，点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上．

(1)、尺规作图：作 $∠ A C B$ 的平分线交 $A D$ 于点 $F$ （按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $2 ∠ E B D = ∠ A B C$ ，求证： $D E = D F$ ．

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边的中点，线段 $A B$ 绕点 $D$ 顺时针旋转得到对应线段 $A^{'} B^{'}$ ，直线 $A^{'} B^{'}$ 与边 $A C, B C$ 分别交于点 $E, F$ ．若 $△ E F C$ 是等腰三角形，则旋转角为．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $D E = 5 cm$ ，则 $B F =$ cm．

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15、如图，直线 $y_{1} = k x + b (k > 0)$ 与直线 $y_{2} = m x + n (m < 0)$ 交于点 $A$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是．

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16、2025年春晚《秧 $BOT$ 》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的 $AI$ 驱动全身运动控制技术，最大关节扭矩可达 $360 N \cdot m$ ，使其动作复杂而灵动．此款机器人的关节扭矩 $x$ （ $N \cdot m$ ）应满足的不等关系为（）

A、 $x \geq 360$ B、 $x > 360$ C、 $x \leq 360$ D、 $x < 360$

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17、中华人民共和国第十五届运动会，简称“十五运会”，于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地成功举办，健身运动的热潮也席卷全国．下列关于体育运动的图标是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E是直线AB上一点，点D是直线BC上一点，EC=ED。

(1)、如图①，当EC平分∠ACB时，求∠DEB的度数；

(2)、如图②，当点E是线段AB上一点时，探究线段BD与AE的数量关系，并说明理由；

(3)、当AB=AC=6，AE=10时，直接写出CD的长。（在备用图中作出满足题意的图形并写出答案）

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19、如图，AC=DC，E为AB上一点，EC=BC，且∠1=∠2。

(1)、求证：△ABC≌△DEC；

(2)、若∠B=75°，求∠3的度数。

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20、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点。按下列要求画图：

(1)、以AB为腰作等腰△ABC，使得点C在格点上；

(2)、以AB为底作等腰△ABD，使得点D在格点上，并求出△ABD的面积。

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