相关试卷

1、定义：在 $R t Δ A B C$ 中，若斜边长为 $c$ ，则称 $R t Δ A B C$ 是 $c$ 系直角三角形。
例：如图1，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，则称 $R t Δ A B C$ 是5系直角三角形。

(1)、【任务一：概念理解】
①若 $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 是 $Δ$ 系直角三角形；
②若 $Δ A B C$ 是 $\sqrt{5}$ 系直角三角形， $A B = 1$ ，请在图2中画出一个满足条件的 $Δ A B C$ ；

(2)、【任务二：实践应用】如图3，在以 $O$ 为原点的平面直角坐标系中， $M (1, 1)$ ，点 $N$ 在直线 $y = 2 x + 4$ 上， $R t Δ O M N$ 是以 $M$ 为直角顶点的 $a$ 系直角三角形，求 $a$ 的值；

(3)、【任务三：拓展提升】已知 $D (- 1, - 1)$ ， $E (1, 3)$ ， $R t Δ D E F$ 是 $2 \sqrt{10}$ 系直角三角形，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 上有且仅有两个满足条件的点 $F$ ，请在图4中画出一个符合题意的 $R t Δ D E F$ ，并求出 $k$ 所有可能的取值。

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2、综合与实践
【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析。已知全校有3个年级，每个年级10个班，分男、女子组进行比赛，
【数据统计】
A. 八年级男子组4×100米接力成绩统计如下：(单位：秒)
55.7、54.7、56.5、55.5、56、56.3、54.4、56.4、56.6、54.9
B. 三个年级男子4×100米接力成绩的箱线图如下：

【数据分析】

(1)、箱线图中x的值为；

(2)、比较三个年级男子 $4 \times 100$ 米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？(写出一条即可)
发现：
原因：
【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗。因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和。

(3)、在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时)满足一次函数关系(其中 $0 \leq x \leq 16$ )，已知当 $x = 8$ 时， $t = 1$ .0；当 $x = 12$ 时， $t = 1$ .4。并且接力比赛用时满足：
4×100米接力成绩 = 四人100米单项时间总和 - 三次交接棒总节约时间
①求t关于x的函数表达式；
②已知九(1)班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，则九(1)班 $4 \times 100$ 米接力成绩y(单位：秒)与交接棒训练时长x(单位：小时)之间的函数表达式为 ▴；
(化简为 $y = k x + b$ 的形式)
③九(2)班四名男子选手的100米单项用时总和比九(3)班快1.4秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九(3)班慢1.3秒，且两个班的交接棒训练时间之和为13小时。求九(3)班的交接棒训练时长。

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3、 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中， $∠ G H N : ∠ F G E = 2 : 1$ ， $∠ H G F = 140 °$ ， $G E ∥ M N$ 。

(1)、求 $∠ G H M$ 的度数；

(2)、若 $G H ∥ D E$ ， $∠ A B C = 150 °$ ， $∠ B C E = 68 °$ ， $∠ G E C = 118 °$ ，求证： $G H ∥ A B$ 。

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4、小明在某超市分两次采购蛋卷和烤肠，为美食节做准备。采购时，均按无折扣标价采购，两次采购的数量和总金额如下表所示。
蛋卷/袋
烤肠/盒
总金额/元
第一次
10
8
310
第二次
5
15
375

(1)、求蛋卷和烤肠的无折扣标价分别为多少元；（请使用二元一次方程组解决问题）

(2)、节日尾声，还剩余一些未拆封备用的蛋卷和烤肠，小明打算将它们按采购标价的八折售卖。若小美在美食节抽奖获得了100元，全部用来买蛋卷和烤肠（可以只买一种），且金额没有剩余，则有哪几种方案？

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5、如图，点 $M$ ， $N$ 的坐标分别为： $M (- 2, 1)$ ， $N (6, 2)$ 。

(1)、请在网格中作出平面直角坐标系 $x O y$ ；

(2)、若第一象限内的点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为4，且 $N P ∥ y$ 轴，请在图中描出点 $P$ ，并写出点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的基础上，作出 $Δ M N P$ ，再在图中画出 $Δ M N P$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $Δ M' N' P'$ （点 $M'$ ， $N'$ ， $P'$ 分别对应点 $M$ ， $N$ ， $P$ ）。通过分析两个三角形对应点间的横、纵坐标之间的关系，你能得出什么结论？

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6、小明解关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 4 x - 3 y = 9 ① \\ 3 x - 4 y = 5 ② \end{array}$ 时的过程如下：
第1步：①−②得 $x - y = 4 ③$
第2步：③ $\times 3$ 得 $3 x - 3 y = 12 ④$
第3步：①−④得 $x = - 3$
第4步：将 $x = 3$ 代入③得 $- 3 - y = 4$ ，即 $y = - 7$
所以原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 7 \end{array}$

(1)、你认为小明的做法从第步开始出现错误；

(2)、请写出正确的解法。

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7、计算： $(- 3)^{0} - \sqrt{27} + | 1 - \sqrt{2} | + \sqrt{3} + \sqrt{2}$

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8、定义两种新运算： $[a, b, c]$ 为a，b，c的中位数； $(a, b, c)$ 为a，b，c的算术平均数。
例如：① 因为 $2 \leq 3 \leq 5$ ，所以 $[3, 2, 5] = 3$ ；② $(3, 4, 8) = \frac{3 + 4 + 8}{3} = 5$ 。
则函数 $y_{1} = | x + 2$ ， $- \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$ ， $- 2 x + 4 |$ 与 $y_{2} = (3 x + 6, - x + 2, - 6 x + 12)$ 的交点坐标为。

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9、学校为艺术节准备了一批小礼品。如果将这些礼品3个3个地分，最后剩下1个；5个5个地分，最后剩下2个；7个7个地分，最后剩下2个。这批礼品最少有个。

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10、如图，直线 $y = - x + 4$ 与 $y = k x + b$ 交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 4 \\ - k x + y = b \end{array}$ 的解为。

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11、外语节演讲比赛决赛共有三个环节：主题演讲、即兴问答和才艺展示，三个环节的成绩在综合成绩的权重分别是 $40 %$ ， $50 %$ ， $10 %$ ，某同学三个环节的分数分别为 $90$ 分， $80$ 分， $85$ 分，则该同学的综合成绩是分。

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12、说明命题“ $m$ 的绝对值是正数”是假命题的反例是。

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13、小明设想用电脑模拟台球游戏，为增加难度，约定：
①台球桌面设计为腰长为 $4$ 的等腰 $R t Δ A O B$ ；
②小球撞击桌边后的反弹角等于入射角。
如图建立平面直角坐标系，小明希望球从点 $P (2, 0)$ 出发，撞击 $A B$ 边上 $M$ 点后反弹，再撞击 $O B$ 边上点 $N$ 反弹，最后回到点 $P$ 。则 $M$ 点的坐标为（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(2.5, 1.5)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(1.5, 2.5)$

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14、图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 $22.4$ $c m$ 。已知配套吸管的长度为 $27.6$ $c m$ ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 $5$ $c m$ （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（）

A、 $3$ $c m$ B、 $4$ $c m$ C、 $6$ $c m$ D、 $8$ $c m$

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15、工厂为某活动生产一批纪念品，每套纪念品中包含了 $1$ 个玩偶和 $2$ 个钥匙扣。已知一共有 $9$ 名工人参与制作，每人每天能制作玩偶 $20$ 个或者钥匙扣 $50$ 个，为了使生产的玩偶和钥匙扣刚好配套，设安排 $x$ 名工人制作玩偶， $y$ 名工人制作钥匙扣，根据题意列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 50 y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 20 x = 2 \times 50 y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 20 x = 50 y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 9 \\ 2 \times 50 x = 20 y \end{array}$

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16、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} x + 9 y = 4 k - 4 \\ 9 x + y = 6 k + 4 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 3$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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17、如图，中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成。则图中三个正方形的面积可能取值为（）

A、4，5，6 B、5，7，12 C、5，9，16 D、6，12，15

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18、学校生物种植园中有10盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近。将10盆植物的株高（单位：cm）从小到大排序后分成两组，共有9种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下：

序号	分组情况	组内离差平方和
1	第一组1个，第二组9个	44
2	第一组2个，第二组8个	28
3	第一组3个，第二组7个	16.67
4	第一组4个，第二组6个	20.35
5	第一组5个，第二组5个	28
6	第一组6个，第二组4个	31.22
7	第一组7个，第二组3个	39.52
8	第一组8个，第二组2个	52.42
9	第一组9个，第二组1个	62

则10盆植物的最优分组序号是（）

A、1 B、3 C、5 D、9

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19、下列各式中，错误的是（）

A、 $\sqrt{18} = 2 \sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{9} = \pm 3$ C、 $\sqrt{4} = 2$ D、 $\sqrt[3]{- 1} = - 1$

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20、青花瓷是我国四大名瓷之首。将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的A点的横纵坐标均为无理数，则点A坐标可能是（）

A、(2，1) B、( $- 2$ ， 1) C、（ $- \sqrt{5}$ ， $\sqrt{2}$ ） D、（ $- \sqrt{5}$ ， $- \sqrt{2}$ ）

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	蛋卷/袋	烤肠/盒	总金额/元
第一次	10	8	310
第二次	5	15	375