相关试卷

1、【阅读理解】
若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” $.$ 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数 $.$ 现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数” $.$ 例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - (- 3)^{2}}{4 \times 1} = \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c) 与 F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、 “快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0 (m$ 为整数，且 $1 < m < 6)$ 是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0 与 x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0 (m, n$ 均为整数 $)$ 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出 $m ， n$ 的值．

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2、如图，已知 $△ A B C$ 中， $D 是 B C$ 边上一点，过点 $D$ 分别作 $D E / / A C 交 A B$ 于点 $E$ ，作 $D F / / A B 交 A C$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ ．

(1)、下列条件：
$① D 是 B C$ 边的中点；
$② A D 是 △ A B C$ 的角平分线；
$③ 点 E$ 与点 $F$ 关于直线 $A D$ 对称．
请从中选择一个能证明四边形 $A E D F$ 是菱形的条件，并写出证明过程．

(2)、若四边形 $A E D F$ 是菱形，且 $A E = 4 ， C F = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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3、如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1, - 1) 、 B (4, - 3) 、 C (4, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在第一象限内，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 以点 $O$ 为位似中心并扩大到原来的 $3$ 倍的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、写出点 $A_{2} 、 B_{2}$ 的坐标．

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4、某校在九年级随机抽取了 $20$ 名学生分成甲、乙两组，每组各 $10$ 人，进行“网络安全”知识竞赛 $.$ 把甲、乙两组的成绩进行整理分析 $($ 满分 $100$ 分，竞赛得分用 $x$ 表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x < 90$ 为网络安全意识比较强， $x < 80$ 为网络安全意识一般 $) .$ 收集整理的数据制成了如下统计图表：

平均数
中位数
众数
甲组
$a$
$80$
$80$
乙组
$83$
$b$
$c$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该校九年级有 $500$ 人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)、现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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5、解下列方程：

(1)、 $(x - 3)^{2} = 4 x (x - 3)$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ．

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6、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美 $.$ 如图，点 $P 为 A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果 $A P$ 的长度为 $2 c m$ ，那么 $B P$ 的长度为 $c m .$ (结果保留根号)

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7、已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 等于．

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8、关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是( )

A、 $k \leq - \frac{9}{4}$ B、 $k \leq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$ C、 $k \geq - \frac{9}{4}$ D、 $k \geq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$

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9、创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离.

(1)、【探究发现】
以一次函数 $y = x + 1$ 如何平移得到一次函数 $y = x + 5$ 为例进行探究.
①请在平面直角坐标系中，画出一次函数 $y = x + 1$ 的图象，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ；
②观察图象发现，将点 $A$ 、点 $B$ 分别向上平移 ▲ 个单位，平移后的点在直线 $y = x + 5$ 上.事实上，将一次函数 $y = x + 1$ 图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线 $y = x + 5$ 上，平移距离为4个单位.
③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数 $y = x + 1$ 图象上的点向 ▲ 平移，平移距离为 ▲ 个单位，可得直线 $y = x + 5$ .
④若要使得平移距离有最小值，点 $A$ ， $B$ 应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ .

(2)、【深入探究】
将一次函数 $y = x + b_{1}$ 按平移距离最小值的方式平移到 $y = x + b_{2}$ ，则平移距离为（用 $b_{1}$ ， $b_{2}$ 表示）.

(3)、【拓展升华】
如图，已知正方形 $A B C D$ 各边平行于坐标轴，且边长为 $4 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 坐标为 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ ，若线段 $P Q = 2$ ，且点 $P$ ， $Q$ 在直线 $y = - x + 8$ 上，平移线段 $P Q$ 使得线段端点恰好落在正方形 $A B C D$ 的边上，则平移距离的最小值为.

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10、类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法.著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”.类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用.
观察下列等式： $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ .

(1)、【特例感知】
根据上述特征，计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} =$ .

(2)、【尝试类比】
已知一次函数 $y = - \frac{m + 2}{m} x + \frac{2}{m}$ （ $m$ 为正整数）与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，设 $R t △ A O B$ 的面积为 $S_{m}$ .
① $S_{2} =$ ▲ ；
②求 $S_{2} + S_{4} + S_{6} + \cdot \cdot \cdot + S_{2024}$ 的值.

(3)、【类比迁移】
计算： $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n} =$ .

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11、小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点 $A$ 处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度 $A B$ ，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（ $B C = 2.4$ 米），感应门自动打开，即 $A B = A D$ ，求感应器的离地高度 $A B$ 为多少米？

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12、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系.

(1)、如图1，点 $O$ 是原点，点 $A$ 对应的实数为 $- 2$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 垂直于数轴，且 $A B = 1$ ，连接 $O B$ ，以 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交数轴于点 $C$ ，那么点 $C$ 对应的实数为；

(2)、在（1）的条件下，若将线段 $O C$ 向右平移，使得点 $O$ 对应的实数为1，那么此时点 $C$ 对应的实数为；

(3)、如图2，点 $A$ 对应的实数是3，射线 $A B$ 垂直数轴于点 $A$ ，请在数轴上作出 $\sqrt{10} - 2$ 对应的点 $M$ .（要求：尺规作图并保留作图痕迹）

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13、如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (0, 1)$ ， $B (2, 0)$ ， $C (4, 3)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ D E F$ ；

(2)、 $△ D E F$ 的面积是；

(3)、已知 $P$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ A B P$ 的面积为4，则点 $P$ 的坐标为.

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14、下面是小明同学计算 $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务，
解： $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} (2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3})$ 第一步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{3}$ 第二步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 第三步
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{6 \sqrt{3}}{6} - \frac{15 \sqrt{3}}{6}$ 第四步
$= - \frac{17 \sqrt{3}}{6}$ 第五步
任务一：小明同学的解答过程从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ .
任务二：请你写出正确的计算过程.

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15、计算：

(1)、 $\frac{1}{3} \sqrt{18} - \frac{3}{4} \sqrt{32}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \sqrt[3]{- 8} + | - \sqrt{3} |$ .

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16、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上，连接 $M N$ ，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 翻折，点 $A$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ B D M = ∠ N D M$ ，连接 $A D$ ，若 $A D = \frac{9}{2} \sqrt{5}$ ， $C D = \frac{9}{2}$ ，则 $\frac{B D}{A B} =$ .

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17、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，以三角形各边为直径作半圆，其中两半圆交 $A B$ 于点 $M$ ，阴影部分面积分别记作 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 之间应满足的等式是.

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18、如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”.研究表明，一般情况下人的身高 $y (c m)$ 与指距 $x (c m)$ 满足一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，若人的身高为 $160 c m$ 时，指距为 $20 c m$ ；当人的身高为 $169 c m$ 时，指距为 $21 c m$ .篮球运动员姚明的身高为 $226 c m$ ，则据此估计他的指距是cm.（结果精确到 $0.1 c m$ ）

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19、在平面直角坐标系中，点 $M (m + 3, 2 m + 4)$ 在 $y$ 轴上，则点 $M$ 的坐标是.

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20、若正比例函数 $y = (2 - k) x$ 的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的 $k$ 的值：.

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	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	$80$	$80$
乙组	$83$	$b$	$c$