相关试卷

1、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = 2 \sqrt{5}$ B、 $∠ B A C = 90 °$ C、 $S_{△ A B C} = 10$ D、 $B C$ 边上的高为2

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2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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3、先化简，再求值： $[{(x + y)}^{2} + (x + y) (x - y)] \div 2 x$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = 5$ ．

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4、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - {(π - 3)}^{0} + {(- 2)}^{3}$ ．

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5、已知 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ A$ 的余角的度数为．

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6、情境：
将图1中长为 $26 cm$ ，宽为 $20 cm$ 的矩形纸片折叠可得到图2中的纸飞机，下面是嘉嘉折纸飞机的三个关键步骤的介绍．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠）
操作：
（1）如图3，嘉嘉将图1中的矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M N$ 折叠，点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $M D$ 边上，求证： $A^{'} B^{'} ∥ C D$ ．
（2）如图4，将 $E M$ 和 $E N$ 分别沿着 $E P$ 和 $E Q$ 折叠，点M与点N的对应点重合，从而获得边 $P Q$ 与 $C D$ 平行，且 $P Q$ ， $A^{'} B^{'}$ ， $C D$ 三条线段中相邻的两条之间距离均为 $x cm$ ．
①直接写出 $△ E P M^{'}$ 的形状．
②求x的值．
探究：
（3）如图5，在 $C D$ 上选取点F，将四边形 $E P D F$ 沿着 $E F$ 折叠，使 $E P$ 的对应边所在直线与 $E M^{'}$ 所在直线重合，点D的对应点为 $D^{'}$ ，下方部分进行同样的操作，点C的对应点为 $C^{'}$ ，点E到 $C^{'} D^{'}$ 的距离 $E G$ 为飞机的最大长度，请直接写出这个最大长度．

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7、【模型建立】
美国总统伽菲尔德利用图 $1$ 验证了勾股定理，过等腰 $R t △ A C B$ 的直角顶点 $C$ 作直线 $l$ ，再过点 $A$ 作 $A G ⊥ l$ 于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ l$ 于点 $H$ ，易证得： $△ A G C ≌ △ C H B$ ．我们称这种全等模型为“ $K$ 型全等”（无需证明）．
【模型应用】

(1)、如图 $2$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则点 $B$ 的坐标为；

(2)、如图 $3$ ，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = - 3 x + 6$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C$ 、点 $A$ ，将直线 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2}$ 的函数表达式为；

(3)、如图 $4$ ，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x + 2$ 的图像分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C$ 、点 $A$ ，点 $P$ ， $Q$ 是正比例函数 $y = k x (k < 0)$ 图像上两点，若 $C Q ⊥ P Q$ ， $C Q = 1$ ，则点 $A$ 到直线 $P Q$ 的距离为；

(4)、【模型拓展】
如图 $5$ ，在平面直角坐标系中，点 $B$ 的坐标为 $(5, 2)$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，作 $B A ⊥ y$ 轴于点 $A$ ，点 $N$ 是线段 $B C$ 上一点，点 $M$ 在直线 $y = x + 1$ 上．当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 构成等腰直角三角形时，直接写出点 $M$ 的横坐标．

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8、【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，点M、N分别在边 $A C 、 B C$ 上，且 $A M = C N$ ，试探究线段 $M N$ 长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②、过点C、M分别作 $M N 、 B C$ 的平行线，并交于点P ．作射线 $A P$ ．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

(1)、证明： $A M = M P$ ；

(2)、 $∠ C A P$ 的大小为度，线段 $M N$ 长度的最小值为

(3)、如图③，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 9, B C = 4$ ， G是 $A D$ 的中点，线段 $E F$ 在边 $A B$ 上左右滑动，若 $E F = 1$ ，求 $G E + C F$ 的最小值．

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9、某快递公司每天上午 $9 : 00 ~ 10 : 00$ 为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段 $O A$ 和线段 $B C$ 分别表示甲乙两仓库快件数量 $y$ （件）与时间 $x$ （分）之间的函数图象．

(1)、甲仓库每分钟揽收件快递；

(2)、求线段 $B C$ 对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）；

(3)、从 $9 : 00$ 开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同．

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点E ，若 $B E = 4, A B = 6$ ，求 $▱ A B C D$ 的周长．

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11、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．求作：以 $A C$ 为对角线的矩形 $A D C E$ ．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B, A C$ 于点M ， N；分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点P ，作射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点D；
②以点A为圆心， $C D$ 的长为半径画弧；再以点C为圆心， $A D$ 的长为半径画弧，两弧在 $A C$ 的右侧交于点E；
③连接 $A E, C E$ ．
四边形 $A D C E$ 为所求的矩形．

(1)、根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、求证：四边形 $A D C E$ 是矩形．

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12、解方程：

(1)、 $\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{2 x + 1}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$ ．

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13、计算：

(1)、 $\frac{3 y}{10 x} \div \frac{6 y^{2}}{5 x^{3}}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2}}$

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14、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A D C$ 的平分线 $D E$ 交 $A B$ 于点E ， $D E = D C ， C H ⊥ D E$ 于点H ，连结 $A H$ 并延长，交 $C B$ 于点F ，连结 $C E ．$ 给出下列结论：
① $A B = \sqrt{2} A D$ ；
② $∠ C E B = ∠ 67.5 °$ ；
③ $△ D A E$ 的面积是矩形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ；
④ $A H = C H$ ；
⑤ $△ C B E ≌ △ C H E$
其中正确的有．

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15、如图，分别以 $△ A B C$ 的三边为边长在直线 $B C$ 的同侧作等边 $△ A B D$ 、等边 $△ A C E$ 、等边 $△ B C F$ ．若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ，四边形 $A E F D$ 的面积是．

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16、某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度 $A C = 24 c m$ ，边长 $A B = 13 c m$ ，则每个菱形最高点和最低点的距离 $B D$ 的长为 $c m$ ．

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17、在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ B + ∠ D = 130 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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18、计算： $(\sqrt{3} - 2)^{0} =$ ．

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19、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过 $▱ A B C D$ 对角线的交点 $P$ ，已知点 $A$ ， $C$ ， $D$ 在坐标轴上， $B D ⊥ D C$ ， $▱ A B C D$ 的面积为12，则 $k$ 的值为（）

A、3 B、6 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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20、如图，矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点O．若 $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 2$ ，则边 $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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