相关试卷

1、阅读观察：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如，化简 $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
解：将分子、分母同乘以 $\sqrt{2} + 1$ 得， $\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$ ．

(1)、类比应用：
①化简： $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =$ ______；
②请化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2023}}$ ；

(2)、拓展延伸：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 4$ ，则黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ______．

(3)、在（2）的条件下，如图②，将图①中的黄金矩形截剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论．

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2、正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $C D$ 上的任意一点，连接 $B P$ ，作 $P E ⊥ B D$ ，连接 $A E$ ， $E C$ ．

(1)、当 $∠ D A E = 25 °$ 时，求 $∠ A E C$ 的度数；

(2)、当 $∠ P B C = 15 °$ 时， $D P = 6$ ，请直接写出正方形 $A B C D$ 的边长为______．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．

(1)、请直接写出以下线段的长度： $B C =$ ______， $C D =$ ______， $A D =$ ______， $A B =$ ______；

(2)、连接 $B D$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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4、计算： $\sqrt{27} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + \sqrt{18}$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ．若 $E$ 为 $A B$ 的中点， $A C = 8$ ， $△ B C D$ 的周长为14，则 $C D$ 的长为．

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6、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A D B = 90^{°}$ ， $A C = 10$ ， $B D = 6$ ，则 $A D$ 的长为．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，要使得 $▱ A B C D$ 成为矩形，应添加的一个条件是．（只需写一个条件）

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8、如图，直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点D是 $A B$ 上的一个动点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 于E点， $D F ⊥ B C$ 于F点，连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 的最小值为（）

A、2.4 B、5 C、4.8 D、2.5

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9、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形 $O A B C$ 是正方形，其中点A的坐标为 $(3, 4)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(- 2, 7)$ D、 $(- 1, 7)$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 和 $A C$ 的中点，点 $D$ 是线段 $E F$ 上的一点，连接 $A D$ ， $C D$ ，且 $∠ A D C = 90 °$ ．若 $B C = 16$ ， $A C = 13$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、3 B、2.5 C、1.5 D、2

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11、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点O，若 $∠ B D C = 60 °$ ， $B D = 6$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、9 C、 $9 \sqrt{3}$ D、18

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12、下列运算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} = 3$ B、 $\sqrt{16} = \pm 4$ C、 $3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3$ D、 $\sqrt{7} + \sqrt{2} = \sqrt{9}$

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13、下列各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A、2，3，4 B、5，12，13 C、6，7，8 D、2， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$

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14、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{23}$

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15、要使式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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16、综合与实践

活动主题	探究自行车车尾灯
素材1	如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2， $E F$ 为平面镜， $A B, B C$ 分别为入射光线和反射光线，则 $∠ A B E = ∠ C B F$ ．
	问题解决
任务1	探究反射规律 ①如图3， $∠ A B E = α, ∠ B F C = 105 °$ ，则 $∠ D C G =$ ______（用含 $α$ 的代数式表示）． ②若光线 $A B ∥ C D$ ，判断 $E F$ 与 $F G$ 的位置关系，并说明理由．
任务2	模拟应用研究：在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点D会高于反射点C（如图4），因此小亮认为反射光线 $C D$ 应与水平视线 $D H$ 成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线 $A B ∥ D H$ ，当 $C D$ 与 $D H$ 所成夹角为 $18 °$ 时，求 $∠ B F C$ 的度数．

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17、如图，某小区有一块长 $(3 a + 2 b) m$ ，宽 $(2 a + b) m$ 的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为 $a m$ 的小路（图中空白部分）．

(1)、用含a，b的代数式表示花园的面积；

(2)、小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积；

(3)、若 $a = 2 m$ ， $b = 3 m$ ，预计每平方米铺设地砖的价格是20元，那么购买所需地砖需要多少元？

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18、科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②， $A B ∥ C D$ ， $O E$ 平分 $∠ A O C$ ， $C F$ 平分 $∠ O C D$ ．求证： $∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ ．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
证明：∵ $A B ∥ C D$ （已知），
$∴ ∠ A O C =$ ___________（___________），
$∵ O E$ 平分 $∠ A O C$ （已知），
$∴ ∠ E O C = \frac{1}{2}$ ___________（角平分线的定义），
同理， $∠ O C F = \frac{1}{2}$ ___________，
$∴ ∠ E O C = ∠ O C F$ （等量代换），
$∴ O E$ $∥$ ___________（___________）．
$∴ ∠ E O F + ∠ O F C = 180 °$ （___________）．

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19、化简求值： $[{(2 x - y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y) + 2 x y] \div 2 y$ ，其中 $x = \frac{1}{4}$ ， $y = - 4$ ．

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20、计算

(1)、 $- 1^{2} + {(- 2026)}^{0} + | - 5 | + {(- \frac{1}{2})}^{- 3}$ ；

(2)、 $2026^{2} - 2027 \times 2025$ ．

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