相关试卷

1、一元二次方程 $2 x^{2} + x + m = 0$ 没有实数根，那么m的取值范围是.

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2、方程 $\sqrt{x - 6} = 2$ 的解为

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3、不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} - 1 > 0 \\ 2 x + 3 \geq x \end{array}$ 的解集是.

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4、在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，它的外接圆O的半径长为5，若点D是边AC的中点，以点D为圆心的圆和⊙O相交，那么⊙D的半径长可以是（）

A、2 B、5 C、8 D、10

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5、在正方形ABCD中， $| \vec{A B} + \vec{B C} | : | \vec{C D} |$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6、如图是某校体育组60人的某科成绩，下列说法中正确的是（）

A、中位数是21 B、中位数是85 C、众数是21 D、众数是85

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7、下列函数中，是正比例函数的是（）

A、 $y = 3 x + 1$ B、 $y = 3 x^{2}$ C、 $y = \frac{3}{x}$ D、 $y = \frac{x}{3}$

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8、下列代数式中，能表示“x与y的差的平方”的是（）

A、 $x^{2} - y^{2}$ B、 $(x - y)^{2}$ C、 $x^{2} - y$ D、 $x - y^{2}$

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9、下列运算中，正确的是（）

A、 $m^{3} + m^{3} = 2 m^{3}$ B、 $m^{3} + m^{3} = m^{6}$ C、 $m^{3} \cdot m^{3} = m^{9}$ D、 $(m^{3})^{3} = m^{6}$

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10、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C， $O A = 2$ ， $O B = 6$ ， D是直线 $B C$ 上方抛物线上一动点，作 $D F ⊥ A B$ 交 $B C$ 于点E，垂足为点F，连接 $C D$ .

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设点D的横坐标为 $t$ ，
①用含有 $t$ 的代数式表示线段 $D E$ 的长度；
②是否存在点D，使 $△ C D E$ 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、连接 $O E$ ，将线段 $O E$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转90°得到线段 $O G$ ，连接 $A G$ ，请直接写出线段 $A G$ 长度的最小值.

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11、【问题呈现】
如图1，已知 $P$ 是正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ，探究 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ 三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造 $△ Q A_{3} A_{2}$ 与 $△ P A_{1} A_{2}$ 全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系；
思路二：如图3，构造 $△ M A_{1} A_{2}$ 与 $△ N A_{3} A_{2}$ 全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系.

(1)、请参考小颖的思路，直接写出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与 $P A_{2}$ 的数量关系；

(2)、【类比探究】
如图4，若 $P$ 是正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ， $P A_{1} = 11$ ， $P A_{3} = 49$ ，求 $P A_{2}$ 的长度（结果精确到0.1，参考数据： $s i n 54 ° \approx 0.81$ ， $s i n 72 ° \approx 0.95$ ， $c o s 54 ° \approx 0.59$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ）；

(3)、【拓展延伸】
如图5，若 $P$ 是正十边形 $A_{1} A_{2} \cdot \cdot \cdot A_{10}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 180 °$ ，则 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ 三条线段的数量关系为（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.

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12、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ，点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $B D = A B$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $A B = 5$ ， $A C = 8$ 时，求 $B C$ 的长及 $⊙ O$ 的半径.

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13、【综合与实践】

烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.

如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：

位置信息	码头A在灯塔B北偏西14°方向
	14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
	15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警	受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；

(2)、若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：

s i n 37 ° \approx 0.60

，

c o s 37 ° \approx 0.80

，

t a n 37 ° \approx 0.75

，

s i n 14 ° \approx 0.24

，

c o s 14 ° \approx 0.97

，

t a n 14 ° \approx 0.25

）.

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14、2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.

(1)、求甲、乙两种路灯的单价；

(2)、该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的 $\frac{1}{3}$ ，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.

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15、如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，请按以下要求解决问题：

(1)、利用尺规作 $△ B E D$ ，使 $△ B E D$ 与 $△ B C D$ 关于直线 $B D$ 成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，若 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，求 $A F$ 的长.

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16、2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10.
②乙社团的平均成绩为 $\frac{6 \times 8 + 7 \times 12 + 8 \times 6 + 9 \times 10 + 10 \times 4}{8 + 12 + 6 + 10 + 4} = 7.75$ （分）.
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、成绩为8分的学生在社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；

(3)、已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.

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17、先化简，再求值： $(2 + m + \frac{4}{m - 2}) \div \frac{m}{3 m - 6}$ ，其中 $m = {(- 1)}^{2025}$ .

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18、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，对角线 $A C = 6 c m$ .点M从点A出发，沿 $A C$ 方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿 $C D$ 方向以 $\sqrt{3} c m / s$ 的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 $A N$ ， $D M$ 交于点P.在此过程中，点P的运动路径长为m.

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19、如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(6, \frac{3}{2})$ ， $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为（4，3）.以点 $P$ 为位似中心作 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 位似，相似比为2，且与 $△ A B C$ 位于点 $P$ 同侧；以点 $P$ 为位似中心作 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位似，相似比为2，且与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位于点 $P$ 同侧……按照以上规律作图，点 $A_{3}$ 的坐标为.

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20、如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，中心为点 $O$ ，以点 $O$ 为圆心，以 $A B$ 长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为.

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