相关试卷

1、在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3} ， ∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3 ． ∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} =$ ；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{225} + \sqrt{224}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + 3}$ ，求 $a^{4} + 6 a^{3} + 6 a + 2023$ 的值．

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2、“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： $\{\begin{matrix} a - b > 0, 则 a > b \\ a - b = 0, 则 a = b \\ a - b < 0, 则 a < b \end{matrix}$ ；
例如：比较 $\sqrt{19} - 2$ 与2的大小．
∵ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4$ 又∵ $\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25} 则 4 < \sqrt{19} < 5$
∴ $\sqrt{19} - 2 - 2 = \sqrt{19} - 4 > 0$ ， ∴ $\sqrt{19} - 2 > 2$ ．
请根据上述方法解答以下问题：

(1)、 $\sqrt{29}$ 的整数部分是， $\sqrt{29}$ 的小数部分是；

(2)、比较 $2 - \sqrt{23} 与 - 3$ 的大小．

(3)、已知 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，试用“比差法”比较 $\sqrt{100} + \sqrt{98} 与 2 \sqrt{99}$ 的大小．

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3、下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： $\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2) + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$
解：原式 $= {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1$ ①
$= 3 + 2 \sqrt{3} + 3 - 1$ ②
$= 5 + 2 \sqrt{3}$ ③

(1)、任务一：小雷同学的解答过程是从第步开始出现错误的（写步骤序号）；

(2)、任务二：请你写出正确的解答过程．

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4、先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $(\sqrt{2} - 1)$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵ $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ ，即 $2 < \sqrt{7} < 3$
∴ $\sqrt{7}$ 的整数部分为2，小数部分为 $(\sqrt{7} - 2)$ ．

(1)、 $\sqrt{17}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求 $a + b - \sqrt{5}$ 的值；

(3)、已知： $10 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中x是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x - y$ 的值．

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5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $l_{1} : y = k x + b$ 与x轴，y轴分别交于A，B(0，4)两点，与直线 $l_{2} : y = 5 x$ 交于点C，点 C的横坐标为1，点 D(m，n)为直线 l₁上一动点。

(1)、求直线l₁ 的函数表达式。

(2)、若△COD的面积为6，求线段AD 的长。

(3)、直线 $l_{3} : y = m x + 2 n - 2$ 与x轴交于点E，当点 B 到直线l₃距离最大时，求点 D到BE 的距离。

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6、综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动。
如图，在长方形ABCD中，P 是射线AD 上一点，将△ABP 沿BP 折叠后得到△GBP。

(1)、初步探究：
如图①，P在线段AD上，过点G作AB 的平行线交AD，BC的两边于点M，N，若AB=5，AM=4，求AP 的长。

(2)、深入探究：
如图②，P在线段AD的中点上，延长BG交DC 于点F，若DF=3FC，试说明AD与AB 满足的数量关系。

(3)、拓展延伸：
如图③，若AB=4，AD=6，连接DG，CG，当△CDG是以DG 为底的等腰三角形时，直接写出AP 的长。

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7、汽车出发前油箱有油50 L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升。图象表示的是出发后，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系。

(1)、汽车行驶h后加油，中途加油L。

(2)、求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式。

(3)、已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地280 km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由。

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8、如图，在直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 与x轴交于点C，与y轴交于点A，分别以OC，OA为边作长方形ABCO，点 D，E 在直线AC上，且 DE=1，则BD $+ \frac{1}{2} E C$ 的最小值是。

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9、如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ(0°<θ<90°)得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系。规定：已知点 P 是平面斜坐标系中任意一点，过点 P作y轴的平行线交x轴于点A，过点 P 作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对(a，b)为点 P 的斜坐标。在平面斜坐标系中，若θ=45°，点 P 的斜坐标为(1，2 $\sqrt{2}$ )，点 G 的斜坐标为( $(7, - 2 \sqrt{2}),$ 连接PG，则线段 PG的长度是。

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10、已知正方形 A₁B₁C₁D₁的边长为 $\sqrt{2}$ ，对角线 $A_{1} C_{1}$ ，少 $B_{1} D_{1}$ 相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA₁ ， OB₁所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系。分别过点A₁ ， B₁ ， C₁ ， D₁作x轴、y轴的平行线，交于点 A₂ ， B₂ ， C₂ ， D₂ ，得到正方形A₂B₂C₂D₂。分别过点A₂ ， B₂ ， C₂ ， D₂作A₁B₁ ， B₁C₁ ， C₁D₁ ， D₁A₁的平行线，交x轴、y轴于点A₃ ， B₃ ， C₃ ， D₃ ， …，按此规律继续作下去，则点A₂₀₂₆的坐标为。

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11、已知点 P(a，b)在直线y=-x-9上，且 $\sqrt{a b - 7} = 3,$ 则代数式 $a^{2} +$ $b^{2} - a b$ 的值为。

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12、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在射线AC上(点D不与点A，C重合)，过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AD于点D，且DF=AB，连接AE，AF，EF。

(1)、如图，点D 在线段AC的延长线上。
①试说明：AE⊥EF；
②请判断线段AB，AD，AE之间的等量关系，并说明理由。

(2)、若 $\frac{C D}{A C} = \frac{1}{2},$ 请直接写出 $\frac{A F}{A D}$ 的值。

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13、对于函数y=|2x+m|(m为常数)，小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质。请将小明的探究过程补充完整，并解决问题。

(1)、当m=0时，函数为y=|2x|；当m=7时，函数为y=|2x+7|。
用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示。
观察函数图象可知：函数y=|2x|的图象关于对称；
对于函数y=|2x+7|，当x=时，y=3。

(2)、当m=-4时，函数为y=|2x-4|。
①在图中画出函数y=|2x-4|的图象；
②对于函数y=|2x-4|，当1<x<3时，y的取值范围是 ▲ 。

(3)、结合函数y=|2x|，y=|2x+7|和y=|2x-4|的图象，可知函数y=|2x+m|(m≠0)的图象可由函数y=|2x|的图象平移得到，它们具有类似的性质。
①若m>0，写出由函数y=|2x|的图象得到函数y=|2x+m|的图象的平移方式；
②若点(t，y₁)和(t+1，y₂)都在函数y=|2x+m|的图象上，且. $y_{1} > y_{2},$ ，直接写出t的取值范围(用含m的式子表示)。

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14、解答下列各题：

(1)、已知 $x = \sqrt{10} - 3, y = \sqrt{10} + 3,$ 求 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值。

(2)、若 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 3,$ 求点(x，y)到原点的距离。

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15、计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{12} 。$

(2)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2) 。$

(3)、 $\sqrt{16} + \sqrt[3]{- 27} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{(- 3)^{2}}$

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16、如图，四边形ABCD的对角线AC垂直平分BD 于点O，点E为AB边上一点，且AE=EB，S△ACD=5，AD=2 $\sqrt{5}$ ， BO=2，则CE=。

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17、如图，若AB是已知线段，过点B作BD⊥AB，使. $B D = \frac{1}{2} A B,$ 连接DA，在DA上截取DE=DB，在AB上截取AC=AE，则 $\frac{A C}{A B} =$ 。

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18、已知平面直角坐标系xOy 中，直线AB⊥x轴，且A(3，4)，B(2k+1，8-k)，则|AB|=。

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19、实数π-3的相反数是，实数 $4 - \sqrt{5}$ 的绝对值是。

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20、下列说法中正确的有( )
$① \sqrt{27}$ 和 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式； $② \sqrt{81}$ 的平方根是3； $③ (- 1, - x^{2})$ 位于第三象限； $④ {(π - 3)}^{2}$ 的算术平方根是π-3；⑤若x+y=0，则点 P(x，y)在第二、四象限角平分线所在直线上。

A、①②④ B、①③⑤ C、②③④ D、①④⑤

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