相关试卷

1、阅读下面的材料，回答问题：解方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0 ①$ ，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ .当 $y = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ，所以 $x = \pm 1$ ；当 $y = 4$ 时， $x^{2} = 4$ ，所以 $x = \pm 2$ .所以原方程有四个根： $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 1 ， x_{3} = 2 ， x_{4} = - 2$ ．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学中的转化思想．

(1)、试用上述方法解方程 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ ，得原方程的解为．

(2)、解方程 $(x^{2} + 2 x)^{2} + 3 (x^{2} + 2 x) + 2 = 0$ ．

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2、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m = 0$ ．

(1)、求证：无论实数 $m$ 取何值，方程总有两个实数根；

(2)、若 $R t △ A B C$ 的两直角边 $A B ， A C$ 的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边 $B C$ 的长为4，求 $m$ 的值．

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3、解方程：

(1)、 $3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 \sqrt{17} x = 83$ ；

(3)、 $5 (x - 2)^{2} = x^{2} - 4$ ．

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4、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - a)^{2} + b = 0 与 n (x - a)^{2} + b = 0$ ，称其为“同族二次方程”.如 $2 (x - 1)^{2} + 3 = 0 与 6 (x - 1)^{2} + 3 = 0$ 是“同族二次方程”.若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 (x - 1)^{2} + 1 = 0 与 (a + 6) x^{2} - (b + 8) x + 6 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式 $a x^{2} + b x + 2026$ 能取得的最大值是.

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5、2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率 $f_{1} 和 f_{2}$ （单位： $10^{9}$ 赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为 $x^{2} + b x + c = 0$ （其中 $b ， c$ 是实数），则可求得 $c =$ ．

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6、如图，等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 在射线 $B A$ 上，连接 $C D$ .若 $B C ， C D$ 的长为方程 $x^{2} - 15 x + 7 m = 0$ 的两根，且 $m$ 为符合题意的最大的整数，则不同位置的 $D$ 点共有个.

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7、为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中 $a$ 的值为.

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8、若方程 $x^{2} - 4112784 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 2028 ， x_{2} = - 2028$ ，则方程 $x^{2} - 2 x - 4112783 = 0$ 的两根为.

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9、一个两位数，其个位上的数与十位上的数的和等于6，而个位与十位上的数的积等于这个两位数的三分之一，则这个两位数为.

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10、若方程 $(a - 2) x^{a^{2} - 2} + 4 x + 3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $a$ 的值为．

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11、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，有下列说法：①若方程有两实数根为1， $- 2$ ，则 $a x^{2} + b x + c$ 分解因式得 $a (x + 1) (x - 2)$ ；②若 $a c < 0$ ，则方程有两个不相等的实数根；③若 $a - b + c = 0$ ，则方程一定有一个根为 $- 1$ ；④若方程有两个不等于0的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 一定有两实数根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ．其中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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12、使得关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 6 x - a \geq - 10, \\ - 1 + \frac{1}{2} x < - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2} \end{array}$ 有且只有4个整数解，且关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有实数根的所有整数 $a$ 的值之和为（）

A、35 B、30 C、26 D、21

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13、《代数学》中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $2 x$ 的长方形，得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3$ .”小唐按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 12 x = m$ 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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14、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 2026 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{3} - 2026 x_{1} + x_{2}^{2}$ 的值为（）

A、4 053 B、4 052 C、2 026 D、1

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15、若菱形两条对角线的长度是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、25 D、5

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16、《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题，大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈 $= 10$ 尺）如果设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 4^{2} = (10 - x)^{2}$ B、 $(10 - x)^{2} + 4^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + (10 - x)^{2} = 4^{2}$ D、 $x (10 - x) = 4^{2}$

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17、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + 2028 x + a^{2} - 4 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、2或 $- 2$ D、0

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18、若方程 $2 (x^{2} - 1) + 1 = 3 x (x - 1)$ 中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 $a (a > 0), b, c$ ，则 $a + b + c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、3 D、5

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19、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ （a、b为常数， $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (- 2, 0)$ 、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接 $B C$ ， $∠ C B A = 45 °$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作 $F E ⊥ x$ 轴，垂足为点E，交 $B C$ 于点D，连接 $C F$ ，求 $△ C D F$ 的面积；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，点E是线段 $O B$ 上（不与点O、B重合）的点，过点E作 $E F ⊥ x$ 轴，交抛物线于点F，交 $B C$ 于点D，点P是线段 $D E$ 上一动点，过P作 $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为Q，点G为线段 $A C$ 的中点，连接 $B P 、 G Q$ ．当线段 $D F$ 的长度取得最大值时，求 $B P + P Q + G Q$ 的最小值．

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20、在平面直角坐标系xOy中，点 $(1, m)$ 和 $(3, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为直线 $x = t (t > 0)$ ．

(1)、当 $c = 2$ ， $m = n$ 时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)、点 $(x_{0}, m) (x_{0} \neq 1)$ 在抛物线上，若 $m < n < c$ ，求 $x_{0}$ 的取值范围；

(3)、当 $t - 2 \leq x \leq 3 t +$ 2时，函数的最大值与最小值的差为 $16 a$ ，求 $t$ 的值．

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