相关试卷

1、某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 $A$ 是一只探照灯，距离地面高度 $A B = m$ ，照射角度 $∠ M A N = α$ ，在地平线 $l$ 上的照射范围是线段 $M N$ ，此灯的光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是多少？

(1)、小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 $α = 90 °$ ， $m = 4$ ，构造 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，可得 $O A \geq A B$ ，即 $O A$ 的最小值为4，又 $M N = 2 O A$ ，故得 $M N$ 的最小值为__________，通过计算可得 $△ A M N$ 的面积最小值为__________．

(2)、当 $α = 45 ° ， m = 4$ 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：
解：作 $△ A M N$ 的外接圆 $⊙ O$ ，作 $O H ⊥ M N$ 于H，设 $M N = 2 x$

(3)、请你写出原题中的结论：光照区域 $△ A M N$ 的面积最小值是__________________________．（用含 $m ， α$ 的式子表示）

(4)、如图3，探照灯A到地平线l距离 $A B = 4$ 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 $A D = 6$ 米，探照灯的照射角度 $∠ M A N$ ，且 $∠ M A N = 45 °$ ，光照区域为四边形 $A M C N$ ，点M、N分别在射线 $C D 、 C B$ 上，设 $△ A C M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $4 S_{1} + 9 S_{2}$ 的最大值．

查看解析
2、已知抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + c$ ．

(1)、若点 $(2, c)$ 在抛物线上．
①求抛物线的对称轴；
②当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $4$ ，求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y = x^{2} - 2 b x + c$ （ $0 < b < 1$ ）最大值与最小值的差为 $\frac{3}{4}$ ，求 $b$ 的值．

查看解析
3、综合与实践
【发现并提出问题】
在进行综合与实践活动时，学习小组发现可以将一张特殊的平行四边形硬纸片剪拼成一个有盖的直四棱柱形盒子（无损耗无重叠），在制作过程中，学习小组提出了一个问题：制作的盒子的高与四边形硬纸片的边长存在怎样的数量关系？
【分析并解决问题】
探究一：盒子的高与正方形硬纸片的边长的数量关系
（1）以正方形 $O A B C$ 的顶点O为坐标原点， $O A$ ， $O C$ 所在的直线为坐标轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时点B的坐标为 $(4, 4)$ ，再以正方形 $O A B C$ 的两条对角线交点P为位似中心，画一个正方形 $D E F G$ ，使它与正方形 $O A B C$ 位似，且相似比为 $1 : 2$ ，然后按图2的方式将正方形纸片 $O A B C$ 沿虚线剪开，可拼接成如图3所示的四棱柱形有盖盒子．
请在图1中画出正方形 $D E F G$ ，此时盒子的高h为______；
探究二：盒子的高与菱形硬纸片的边长的数量关系
（2）按探究一的方式将图4中的菱形硬纸片制作成了如图5所示的四棱柱形有盖盒子．在菱形 $A B C D$ 中，若 $A B = a$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则盒子的高 $P Q$ 为______；（用含a的代数式表示）
【推广并创新应用】
探究三：盒子的高与矩形硬纸片的边长的数量关系
（3）如图6，矩形硬纸片 $A B C D$ 中， $A B = m$ ， $A D = n$ ，将该纸片沿虚线剪开，把所得的四个阴影部分纸片再剪拼成一个长方形盖子，并与剩余部分一起拼接成一个四棱柱形有盖盒子，求盒子的高 $P Q$ ．（用含有m，n的代数式表示）

查看解析
4、已知点 $A (a, b)$ 与点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，将点 $A$ 向左平移3个单位长度得到点 $C$ ．若 $B, C$ 两点都在函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上，求点 $A$ 的坐标．

查看解析
5、在 $△ A B C$ 和 $△ A E D$ 中， $A B \cdot A D = A C \cdot A E$ ， $∠ B A D = ∠ C A E$ ，求证： $△ A B C ∽ △ A E D$ ．

查看解析
6、计算： $\frac{3 x}{1 - x} - \frac{3}{1 - x}$

查看解析
7、如图，顶点为 $(- 3, - 6)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过 $(- 1, - 4)$ ，则下列结论：① $a b c < 0$ ；②对于任意的m，均有 $a m^{2} + b m + c + 6 > 0;$ ③ $5 a - c = 4$ ；④若 $a x^{2} + b x + c \geq - 4$ ，则 $x \geq - 1$ ；⑤ $a = \frac{1}{2}$ ⑥不等式 $a x^{2} + b x + c > x - 3$ 的解集为 $- 3 < x < - 1$ 其中正确的为（填序号）．

查看解析
8、如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x < a \\ x < b \end{array}$ 的解集是．

查看解析
9、因式分解： $6 m^{2} - 6 =$ ．

查看解析
10、下列命题是假命题的是（）

A、矩形的对角线相等且互相平分 B、对角线相等的菱形是正方形 C、若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $(1, 1)$ ，则点 $(2025, \frac{1}{2025})$ 在双曲线上 D、有一个角相等的两个等腰三角形相似

查看解析
11、下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{2} \cdot 3 a = 6 a^{3}$ B、 ${(2 a)}^{3} = 2 a^{3}$ C、 $a^{6} + a^{2} = a^{3}$ D、 $3 a^{2} + 4 a^{7} = 7 a^{9}$

查看解析
12、“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片．滨城学校九年级（3）班的项目式学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度．
【素材一】如图1，“海之跃”摩天轮共有 $24$ 个轿厢，均匀分布在圆周上拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）
【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为 $150$ 米，半径为 $72$ 米，该团队分成三组分别乘坐 $1$ 号 $A$ 、 $4$ 号 $B$ 和 $10$ 号 $C$ 轿厢，当 $1$ 号轿厢运动到摩天轮最高点时，二组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处 $D$ 点，观测数据如表（观测误差忽略不计）．
1号轿厢测量情况
4号轿厢测量情况
10号轿厢测量情况
【任务一】初步探究，获取基础数据
（1）如图3，请连接 $A O$ 、 $B O$ ，则 $∠ A O B =$ ______°；
（2）求出 $1$ 号轿厢运动到最高点时， $4$ 号轿厢所在位置 $B$ 点的高度．（结果保留根号）
【任务二】推理分析，估算实际高度
（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度 $D N$ ．（结果用四舍五入法取整数， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）
（4）根据 $4$ 号和 $10$ 号轿厢的测量数据，则 $1$ 号轿厢的测量数据x的值为______．（结果保留根号）

查看解析
13、在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形 $W$ 上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形 $W$ 的“美好矩形”．
例如：如图1，已知 $△ A B C$ ，矩形 $A D E F$ ， $A D ∥ x$ 轴，点 $B$ 在 $D E$ 上，点 $C$ 在 $E F$ 上，则矩形 $A D E F$ 为 $△ A B C$ 的美好矩形．

(1)、如图2，矩形 $A B C D$ 是函数 $y = 2 x (- 1 \leq x \leq 1)$ 图象的美好矩形，求出矩形 $A B C D$ 的面积；

(2)、如图3，点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，点 $B$ 是函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图象上一点，且横坐标为 $m$ ，若函数图象在 $A$ 、 $B$ 之间的图形的美好矩形面积为 $9$ ，求 $m$ 的值；

(3)、对于实数 $a$ ，当 $a \leq x \leq a + 2$ 时，函数 $y = x^{2} - 6 x$ 图象的美好矩形恰好是面积为 $6$ ，请直接写出 $a$ 的值为_______．

查看解析
14、如图，A，B，C，D是 $⊙ O$ 上的四点， $A C$ 是直径， $A B = B D$ ， $⊙ O$ 的切线 $B E$ 交 $D C$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $B E ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A B = 5 \sqrt{5}$ ， $B E = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

查看解析
15、如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 为菱形， $\sin ∠ A O C = \frac{4}{5}$ ，且点 $A$ 落在反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 上，点 $B$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上，则 $k =$ ．

查看解析
16、“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“惊蛰”“小满”“白露”“冬至”四张主题邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“小满”和“冬至”两张主题邮票的概率是．

查看解析
17、现有 $x$ 辆载重 $6$ 吨的卡车运一批重 $y$ 吨的货物，若每辆卡车装 $5$ 吨，则剩下 $2$ 吨货物；若每辆卡车装满后，最后一辆卡车只需装 $4$ 吨，即可装满所有货物．根据题意，可列方程（组）（）

A、 $5 x + 2 = 6 (x - 1) + 4$ B、 $5 x + 2 = 6 x - 4$ C、 $\{\begin{matrix} 5 x - y = 2 \\ y - 6 (x - 1) = 4 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} y - 5 x = 2 \\ 6 x - y = 4 \end{matrix}$

查看解析
18、下列 $1 o g o$ 中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看解析
19、已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且 $A (- 2, 0), B (4, 0), C (0, 4)$ ；

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接 $P B, P C$ ，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交 $B C$ 于点K．记 $△ P B C$ ， $△ B D K$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ 的最大值；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，点E为线段 $A C$ 的中点，过点E作 $E F ⊥ A C$ 交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使 $∠ Q F E = 2 ∠ O C A$ ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

查看解析
20、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点G在 $A B$ 的延长线上，连接 $D G$ ，分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点E、F，且 $A E : C E = 3 : 2$ ．

(1)、求 $B G$ 的长；

(2)、如果 $S_{△ B G F} = 3$ ，求四边形 $A B F D$ 的面积．

查看解析

上一页 15 16 17 18 19 下一页跳转

1号轿厢测量情况	4号轿厢测量情况	10号轿厢测量情况