相关试卷

1、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a <0$ ）经过 $(- 1, 1)$ ， $(m, 1)$ 两点，且 $0 < m < 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ； ②若 $m = \frac{1}{2}$ ，则 $b + c = 1$ ；③不等式 $a x^{2} + b x < c x - x$ 的解集为 $- 1 < x < 0$ ；④若关于x的方程 $a (x + 1) (x - m) = 1$ 无实数根，则 $b^{2} - 4 a c < - 8 a$ ．其中正确的是（填写序号）．

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2、某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道 $C D = 5 \sqrt{2} cm$ ，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则 $E B =$ cm．

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3、根据表格可知关于 $x$ 的一元二次方程： $x^{2} - a x - 6 = 0$ 的解是．
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
．．．
$x^{2} - a x$
6
2
0
0
2
6

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4、定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $1 \leq \frac{x_{1}}{x_{2}} \leq 3$ ，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 5 ， x_{2} = - 3$ ，且 $1 \leq \frac{- 5}{- 3} \leq 3$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ 为“友好方程”．关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - p) x - p = 0$ ，有下列两个结论：①当 $p = - \frac{2}{3}$ 时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有 $2$ 个整数 $p$ 满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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5、已知关于 $x$ 的方程 $(a - 1) x^{2} + 2 x - a - 1 = 0$ 的根都是整数，则满足条件的整数 $a$ 的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、已知二次函数 $y = {(x - 3)}^{2} + 2 m + 1$ （ $m$ 为常数），其图象上有两点 $A (a - 1, y_{1})$ ， $B (a + 1, y_{2})$ ，如果 $y_{1} > y_{2}$ ，那么 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $a > 2$ 或 $a < 4$ B、2 $< a < 4$ C、 $a < 3$ D、1 $< a < 3$

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7、某同学将如图所示的三条水平直线 $m_{1} ， m_{2} ， m_{3}$ 的其中一条记为 $x$ 轴（向右为正方向），三条竖直直线 $m_{4} ， m_{5} ， m_{6}$ 的其中一条记为 $y$ 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a < 0)$ 的图象，那么她所选择的 $x$ 轴和 $y$ 轴分别为直线（　　）

A、 $m_{1} ， m_{6}$ B、 $m_{2} ， m_{4}$ C、 $m_{2} ， m_{5}$ D、 $m_{3} ， m_{4}$

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8、已知抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 1$ 经过 $(1, y_{1}) ， (2, y_{2})$ 两点，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系为（　　）

A、 $y_{1} = y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法确定

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9、方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 经过配方法化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，正确的是（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 3$

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10、二次函数 $y = x^{2} + 2$ 的顶点坐标是（　　）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 0)$ C、 $(0, - 2)$ D、 $(2, 0)$

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11、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- 3, 0)$ ，点B的坐标为 $(3, 0)$ ，点C的坐标为 $(0, 3)$ ， $△ E D C$ 是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动．

(1)、如图1所示，当点D的坐标为 $(1, 0)$ 时，求点E的坐标；

(2)、如图2所示，点D在线段 $O B$ 上运动时，连接 $A C$ 、 $B C$ ，连接 $A E$ 并延长与y轴交于点P，求点P的坐标；

(3)、如图3，设 $△ E D C$ 的边 $E D$ 与y轴交于点G， $C E$ 与x轴交于点F，当点D在线段 $O B$ 上运动，且满足 $E G < \frac{1}{2} E D$ 时，在线段 $D E$ 上取点H，连接 $H F$ 交y轴于点Q．且 $∠ E G C = ∠ Q H D$ ，证明： $E G = H D$ ．

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12、【教材呈现】 $(1)$ 数学教材中有这样一道习题：“如图 $1$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ ，若 $A D = 2.5 cm$ ， $D E = 1.7 cm$ ，求 $B E$ 的长．”请写出此题的解答过程；
【类比探究】 $(2)$ 如图 $2$ ，点 $B$ ， $C$ 在 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 、 $A N$ 上，点 $E$ ， $F$ 在 $∠ M A N$ 内部的射线 $A D$ 上， $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 分别是 $△ A B E$ 、 $△ C A F$ 的外角，已知： $A B = A C$ ， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ B A C$ ．猜想：线段 $C F$ ， $E F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由．

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13、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $D E ⊥ B C$ 于点E，且 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ．

(1)、试证明点D在 $∠ A B C$ 的平分线上；

(2)、试判断 $A B$ 、 $B C$ 和 $B E$ 三条线段的数量关系并说明理由．

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14、如图， $A B = 4 cm, B C = 6 cm, ∠ B = ∠ C$ 且均为钝角．点P在线段 $B C$ 上以 $2 cm/s$ 的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线 $C D$ 运动．若经过t秒后，存在 $△ A B P$ 与 $△ C Q P$ 全等，则t的值是．

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15、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 满足 $∠ A = 3 ∠ B - ∠ C$ ，则 $∠ B =$ ．

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16、如图，在平面直角坐标系中， $A (5, 5)$ ，点B、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且 $O B \neq O C$ ，若 $△ B A C$ 是以 $B C$ 为底的等腰三角形，则 $O B + O C$ 的长为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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17、按图中所给的条件， $∠ 1 + ∠ 2$ 的度数是（）

A、 $195 °$ B、 $205 °$ C、 $225 °$ D、 $235 °$

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18、2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（）

A、三角形具有稳定性 B、垂线段最短 C、三角形两边之和大于第三边 D、三角形内角和等于180°

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19、观察下列等式，并完成下列问题：
第 $1$ 个： $2^{2} - 1 = 1 \times 3$ ，
第 $2$ 个： $3^{2} - 1 = 2 \times 4$ ，
第 $3$ 个： $4^{2} - 1 = 3 \times 5$ ，
第 $4$ 个： $5^{2} - 1 = 4 \times 6$ ，
$\dots$

(1)、请你写出第 $5$ 个等式：；

(2)、第 $n$ （ $n \geq 1$ ，且 $n$ 为整数）个等式可表示为：；

(3)、运用上述结论，计算： $1999^{2} - 1$ ．

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20、把下列各数在数轴上表示出来，再按大小顺序用“ $>$ ”号连接起来
$- (- 4) ， 0 ， - (+ 3) ， - \frac{5}{2} ， - |- 1| ， 2$

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$x$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	．．．
$x^{2} - a x$	6	2	0	0	2	6