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1、先化简，再求值， $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 ${(x - 1)}^{2} = 4$ ．

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2、如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为．

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3、有一块边长为 $m (m > 1)$ 米的正方形土地，若把这块地的一边长增加1米，另一边长减少1米，则与原来相比，这块土地的面积（）

A、没有变化 B、变大了 C、变小了 D、无法确定

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4、下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $y^{2} - 49$ B、 $\frac{1}{49} - x^{4}$ C、 $- m^{4} - n^{4}$ D、 $\frac{1}{4} {(p + q)}^{2} - 9$

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5、下列因式分解正确的是（）．

A、 $2 a^{2} - 4 a = 2 (a^{2} + a)$ B、 $- a^{2} + 4 = (a + 2) (a - 2)$ C、 $a^{2} - 2 a + 1 = {(a - 1)}^{2}$ D、 $a^{2} - 10 a + 25 = a (a - 10) + 25$

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6、如图， $△ A B C$ 的顶点 $C$ 是平面内一动点，始终保持 $∠ A C B < 120 °$ ，分别以 $A C$ ， $B C$ 为边，向外作等边三角形 $A C D$ 和等边三角形 $B C E$ ，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $G$ ， $B D$ 与 $A E$ 交于点 $O$ ，连接 $O C$ ．

(1)、求证： $B D = A E$ ；

(2)、求 $∠ A O C$ 的度数；

(3)、在点 $C$ 运动过程中．
①求 $O A$ ， $O C$ 与 $O D$ 之间的数量关系；
② $|\frac{O E - O C}{O B}|$ 是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由．

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7、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 成轴对称的 $△ D E F$ ；

(2)、在直线 $M N$ 上找一点 $P$ ，使 $P B + P C$ 的长最短．

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8、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度 $A C$ 与右边滑梯水平方向的跨度 $D F$ 相等．

(1)、这两个滑梯的倾斜角 $∠ A B C$ 与 $∠ D F E$ 的大小关系如何？请说明理由．

(2)、求右边滑梯的高度 $E D$ ．

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9、先化简，再求值： $x^{2} (3 - x) + x (x^{2} - 2 x) + 1$ ，其中 $x = 3$ ．

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10、把下列各式分解因式：

(1)、 $4 a^{2} b^{2} - a b^{2}$ ；

(2)、 $m (a - b) - n (a - b)$ ．

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11、如图，灯塔 $C$ 在海岛 $A$ 的北偏东 $75 °$ 方向，一条船从 $A$ 岛出发，由西向东航行30海里到达 $B$ 处，此时，测得灯塔 $C$ 在 $B$ 处的北偏东 $60 °$ 方向，若这条船继续由西向东航行，则该船与灯塔 $C$ 的最短距离为海里．

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12、某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边 $B$ 点，选对岸正对的一棵树 $A$ ；②沿河岸直走 $20 m$ 有一棵树 $C$ ，继续前行 $20 m$ 到达 $D$ 处；③从 $D$ 处沿河岸垂直的方向行走，当到达 $A$ 树正好被 $C$ 树遮挡住的 $E$ 处停止行走；④测得 $D E$ 的长为 $12 m$ ，那么河的宽度是 $m$ ．

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13、命题“如果 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ，那么 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为邻补角”的逆命题是，它是命题（填“真”或“假”）．

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14、如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $A C = 9$ ，则 $A D =$ ．

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15、小明抄写在作业本上的式子 $x^{\oplus} - 9 y^{2}$ （“ $\oplus$ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了 $x$ 的指数，他只知道该指数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，则该整式分解因式的所有可能结果为（）

A、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ B、 $(x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)$ C、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ 或 $(x^{2} + 9 y) (x^{2} - y)$ D、 $(x + 3 y) (x - 3 y)$ 或 $(x^{2} + 3 y) (x^{2} - 3 y)$

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16、明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若 ${(- 2 a^{2})}^{k} = - 8 a^{6}$ ，则 $k$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（　　）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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18、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$ B、 ${(- a^{4})}^{5} = a^{20}$ C、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ D、 ${(4 a)}^{2} = 8 a^{2}$

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19、如图，现在常用的衣架是三角形的，它比一根简单的横杆更能保持形状，防止在挂厚重衣物时变形，其中蕴含的数学原理是（）

A、三角形具有稳定性 B、垂线段最短 C、两点之间线段最短 D、两点确定一条直线

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20、2025年中国航天取得诸多成果，天问二号任务在小行星探测中，其搭载的高分辨率相机能清晰拍摄到小行星表面细节．经测算，该相机可分辨出小行星表面上最小宽度仅为0.000012米的纹理．将0.000012用科学记数法表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{- 5}$ B、 $0.12 \times 10^{- 6}$ C、 $1.2 \times 10^{- 6}$ D、 $12 \times 10^{- 5}$

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