相关试卷

1、为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要 $3600$ 元、 $2400$ 元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的 $\frac{5}{6}$ ，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多 $12$ 元．

(1)、服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？

(2)、若服装甲以每件 $72$ 元的价格出售，每天可售出 $30$ 件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $5$ 件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．

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2、综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $C E$ ，请探究 $△ B C E$ 的面积与 $▱ A B C D$ 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： $▱ A B C D$ 的面积等于 $△ B C E$ 面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 边上一点，点F为 $C D$ 右侧一点， $∠ A E F = ∠ E F D = 90 °$ ，若 $A D = 10$ ， $A E = 15$ ， $E F = 8$ ，求 $A B$ 的长；
【深入思考】
（3）如图3， $▱ A B C D$ 中，点E为 $B C$ 边上一点，点F为 $C D$ 边上一点，连接 $D E$ ， $B F$ 交于点G，连接 $A G$ ，若 $B F = D E$ ，证明： $A G$ 平分 $∠ B G D$ ．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ， $F$ 为 $A E$ 上的动点，连接 $D F$ ， $G$ 为 $D F$ 的中点，连接 $B G$ ，则 $B G$ 的最小值是．

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4、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A (- 4, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．以下结论：① $4 a + 2 b + c = 0$ ；② $2 a - b + c < 0$ ；③当以点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的三角形是等腰三角形时， $c = 2 \sqrt{5}$ ；④当 $c = 4$ 时，在 $△ B O C$ 内有一动点 $P$ ，若 $O P = \sqrt{2}$ ，则 $C P + \frac{\sqrt{2}}{2} B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5、给定一列数，我们把这列数中第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，以此类推，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ （ $n$ 为正整数），已知 $a_{1} = x$ ．并规定： $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{n}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ．则① $a_{2} = a_{5}$ ；② $T_{1} + T_{2} + T_{3} + \dots + T_{100} = \frac{2 x - 1}{1 - x}$ ；③对于任意正整数 $k$ ， $T_{3 k + 3} (S_{3 k} - S_{3 k + 2}) = T_{3 k} - T_{3 k - 1} - T_{3 k - 2}$ 成立，以上结论中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6、水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点 $A$ 处放空水，同时有1个水斗刚好在点 $B$ 处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径 $O A$ 为 $5 m$ ，点 $A$ 到水面的距离为 $7 m$ ，则水面宽度 $C B$ 为（）

A、 $6 m$ B、 $7 m$ C、 $6 m$ 或 $8 m$ D、 $7 m$ 或 $8 m$

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7、如图， $A C$ ， $B D$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $∠ B D E = 30 °$ ， $D E = \sqrt{3}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$

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9、动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论.
小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究：
三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中 $∠ A C B = ∠ E D F = 9 0^{\circ}, ∠ B A C = 3 0^{\circ}, ∠ D E F = 4 5^{\circ}$ ， GH∥MN，点A，B在直线GH上，点E，F在直线MN上.

(1)、【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤60.
当DF与AB平行时，则t的值为；

(2)、当DF与AC平行时，求t的值；

(3)、【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，小宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且 $0 \leq t \leq 60$ ，当DF与BC平行时，则t的值为。

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10、综合应用
在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、b的值的情况下，求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值.具体做法如下：
$a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b - 2 a b = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 3 = 19$ .

(1)、若a+b=7，ab=6，则 $a^{2} + b^{2}$ =；

(2)、若m满足m（8-m）=3，求 $m^{2} + {(8 - m)}^{2}$ 的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操作如下：
解：设m=a，8-m=b，
则a+b=m+（8-m）=8，ab=m（8-m）=3，
所以 $m^{2} + {(8 - m)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 8^{2} - 2 \times 3 = 58 .$
请参照上述方法解决下列问题：
①若-3x（3x+5）=6，求 $9 x^{2} + {(3 x + 5)}^{2}$ 的值；
②若（2x-1）（5-2x）=3，求 ${(2 x - 1)}^{2} + {(5 - 2 x)}^{2}$ 的值；

(3)、如图，某校园艺社团在三面靠墙的空地上，用长11米的篱笆（不含墙AD）围成一个长方形的花圃ABCD，面积为15平方米，其中墙AD足够长，墙AB⊥墙AD，墙DC⊥墙AD.随着学校社团成员的增加，学校在花圃ABCD旁分别以AB，CD边向外各扩建两个正方形花圃，以BC边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积.

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11、实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究.
试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据.
【数据记录】

一组
二组
三组
四组
五组
开红花的植株数量
39
1
71
63
86
开其他颜色花的植株数量
61
9
101
93
129
出现红花的频率
0.39
a
0.41
0.40
b

(1)、表中a= ， b=；

(2)、经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第组的数据不适合用频率估计概率，理由是.你认为一株该植物开出红花的概率是（结果精确到0.1）.

(3)、某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量.

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12、如图，已知∠B=∠C=∠AED=90°.

(1)、请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是（写出一个合理的即可）.

(2)、根据你所添加的条件，求证：△ABE≌△ECD.

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13、填空并完成推理过程.
如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF.
证明：∵∠1=∠2（   ▲   ），
∠1=∠3（   ▲   ），
∴∠2=∠3（   ▲   ），
∴   ▲   ∥   ▲   （   ▲   ），
∴∠C=∠ABD（   ▲   ）.
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（   ▲   ），
∴AC∥DF（   ▲   ）.

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14、先化简，再求值：（2x+3y）²-3（2x+y）（2x-y），其中 $x = - \frac{1}{2} ， y = - 1$

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15、计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2025} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $(4 a^{3} b - 6 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3}) \div (- 2 a b) .$

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16、如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=8.F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为.

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17、某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数学问题.如图所示，已知AB∥CD，∠BAE=84°，∠DCE=120°，则∠E的度数是°.

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18、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=50°时，则∠2的度数为.

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19、等腰ABC的周长是10cm，腰长AB=4cm，则底边BC=cm.

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20、已知 $a^{m} = 5, d^{n} = 4,$ 则代数式 $a^{m - n}$ 的值为.

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	一组	二组	三组	四组	五组
开红花的植株数量	39	1	71	63	86
开其他颜色花的植株数量	61	9	101	93	129
出现红花的频率	0.39	a	0.41	0.40	b