相关试卷

1、化简 $\frac{x^{2} - 2}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}$ 的结果是（）

A、 $x + 1$ B、 $x$ C、 $x - 1$ D、 $x - 2$

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2、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1, △ A B C$ 的三个顶点均在网格线的交点上，点D ， E分别是边BA ， CA与网格线的交点，连接DE ，则DE的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3、一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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4、如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（）

A、 $10 0^{°}$ B、 $11 0^{°}$ C、 $12 0^{°}$ D、 $13 0^{°}$

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5、通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有 $0.000074 m / s$ ，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（）

A、 $0.74 \times 1 0^{- 4}$ B、 $7.4 \times 1 0^{- 4}$ C、 $7.4 \times 1 0^{- 5}$ D、 $74 \times 1 0^{- 6}$

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6、数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（）

A、 B、 C、 D、

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7、在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（）

A、+3个 B、-3个 C、+4个 D、-4个

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8、如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ， $A (- 1,0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上的一动点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ B C$ 交于 $B C$ 点 $Q$ ，点 $K$ 是直线 $B C$ 上的动点，连接 $A K$ ， $P K$ ，当 $\sqrt{2} P Q$ 最大时，求出此时 $p$ 的坐标及 $A K - P K$ 的最大值；

(3)、如图 $2$ ，点 $D$ 的坐标 $(0, - 1)$ ，将该抛物线沿射线 $C B$ 方向平移 $2 \sqrt{2}$ 个单位得新抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为新抛物线 $y_{1}$ 上的一个动点，满足 $∠ A C O + ∠ A B C + ∠ D B E = 90 °$ ，直接写出点 $E$ 的坐标．

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9、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，动点 $M$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A \to C$ 方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$ 时停止运动，连接 $M B$ ， $M C .$ 点 $N$ 以每秒 $\frac{1}{2}$ 个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $C \to A$ 方向匀速运动，至点 $A$ 停止 $.$ 两点同时出发，设运动时间为 $x$ 秒 $(0 < x < 9)$ ，过点 $N$ 作 $N E ⊥ B C$ 于点 $E . △ M B C$ 的面积为 $y_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长与 $△ N E C$ 的周长之比为 $y_{2}$ ．

(1)、请直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式，并注明自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中，画出函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 图象，并写出函数 $y_{1}$ 的一条性质；

(3)、结合图象，请直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围 $. ($ 近似值保留小数点后一位，误差不超过 $0.2)$

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10、【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图 $①$ ，直线 $M N ⊥ A B$ ，垂足为 $C$ ，且 $A C = B C$ ， $P$ 是 $M N$ 上的任意一点．
求证： $P A = P B$ ．

(1)、【定理证明】
请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；

(2)、【定理应用】
如图 $②$ ， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，若 $B D = D E$ ， $△ A B C$ 的周长为 $20$ ， $A C = 9$ ，求 $D C$ 长；

(3)、如图 $③$ ，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上的一点， $A E = 6$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，若 $G$ 是 $C D$ 的中点，求 $D E$ 的长．

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11、如图，已知 $B D$ 是 $R t △ A B C$ 的角平分线， $O$ 是斜边 $A B$ 上的动点，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 的长为半径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ，与 $O A$ 相交于点 $E$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $B C = 4$ ， $B D = 5$ ，求 $A B$ 的长．

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12、某校从九年级甲班和乙班中，各随机抽取 $40$ 名同学进行 $1$ 分钟跳绳测试，并对测试结果进行了整理、描述和分析，把 $1$ 分钟跳绳完成个数用 $x$ 表示，并分成了四个等级，其中 $A$ ： $x \geq 215$ ， $B$ ： $200 \leq x < 215$ ， $C$ ： $185 \leq x < 200$ ， $D$ ： $0 \leq x < 185$ ，下面给出了部分信息：请你根据信息，回答下列问题：
$①$ 甲班 $1$ 分钟跳绳个数的扇形统计图；
$②$ 乙班 $1$ 分钟跳绳个数频数分布统计表；
分组
$A$
$B$
$C$
$D$
频数
$2$
$a$
$20$
$4$
$③$ 乙班 $C$ 组数据从高到低排列，排在最前面的 $8$ 个数据分别是： $199$ ， $198$ ， $198$ ， $197$ ， $197$ ， $197$ ， $195$ ， $195$ ；
$④$ 甲班和乙班 $1$ 分钟跳绳个数的平均数、中位数、 $A$ 等级所占百分比如下表：
班级
平均数
中位数
$A$ 等级所占百分比
甲班
$213.5$
$201$
$m %$
乙班
$211.5$
$b$
$5 %$

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、已知该校九年级共有 $1600$ 名学生参加了此次测试，若跳绳个数大于等于 $200$ 为优秀，请估计参加此次测试中 $1$ 分钟跳绳优秀的学生有多少人？

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13、阅读理解材料：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ．
根据材料 $.$ 求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
$∴ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{(m + n)^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$ ．
解决以下问题：

(1)、方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ．

(2)、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - 3 m + 1 = 0$ ， $n^{2} - 3 n + 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的值．

(3)、已知实数 $p$ ， $q$ 满足 $p^{2} = 3 p + 2$ ， $2 q^{2} = 1 - 3 q$ ，且 $p \cdot q \neq 1$ ，求 $\frac{p q + p + 1}{q}$ 的值．

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14、

(1)、计算： $| \sqrt{3} - 2 | + (2025 + π)^{0} + t a n 60 ° - (\frac{1}{2})^{- 2}$ ．

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a + 2} \div (1 - \frac{3}{a + 2})$ ．

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15、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 5$ ，正方形 $D E F G$ 的边长为 $\sqrt{5}$ ，它的顶点 $D$ ， $E$ ， $G$ 分别在 $△ A B C$ 的边上，则 $C D$ 的长为．

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16、如图，已知 $R t △ A B O$ 中， $A O = 1$ ，将 $△ A B O$ 绕 $O$ 点旋转至 $△ A' B' O$ 的位置，且 $A'$ 在 $O B$ 中点， $B'$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上，则 $k$ 的值为．

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17、在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 在直线 $A B$ 上，点 $D$ 在直线 $B C$ 上，且 $E D = E C$ ，若 $△ A B C$ 的边长为6， $A E = 12$ ，则 $△ B E D$ 的面积为．

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18、“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系，被国际气象界誉为“中国第五大发明” $.$ 在一个不透明的盒子中装了 $8$ 张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“谷雨”，4张“立夏”，1张“小满”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“谷雨”的概率为．

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19、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点， $∠ A B E = 30 °$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠得 $△ F B E$ ，连接 $C F$ ，若 $C F$ 平分 $∠ B C D$ ， $A B = 2$ ，则 $D E$ 的长为( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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20、为发展乡村经济，某农业合作社有土地 $500$ 亩，计划将其中 $10 %$ 的土地开辟为樱桃园，其余的土地种植有机蔬菜和粮食，已知种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的 $2$ 倍少 $30$ 亩，问种植有机蔬菜和种植粮食的面积各多少亩？设种植有机蔬菜的面积为 $x$ 亩，种植粮食的面积为 $y$ 亩，可列方程组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} x = 500 \times (1 - 10 %) + y \\ 2 y - 30 = x \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + y = 500 \times (1 - 10 %) \\ x - 2 y = 30 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 500 \times (1 - 10 %) + y \\ x = 2 y - 30 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x + y = 500 \times (1 - 10 %) \\ x = 2 y - 30 \end{array}$

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班级	平均数	中位数	$A$ 等级所占百分比
甲班	$213.5$	$201$	$m %$
乙班	$211.5$	$b$	$5 %$

分组	$A$	$B$	$C$	$D$
频数	$2$	$a$	$20$	$4$