相关试卷

1、在平面直角坐标系中，若点 $A (- 4, m - 1)$ 与点 $B (2, - 6)$ 的连线与 $x$ 轴平行，则 $m$ 的值是（　　）

A、7 B、 $- 5$ C、 $- 7$ D、 $- 6$

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2、综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B D$ 上， $A E ⊥ E F$ ， $E F$ 交直线 $B C$ 于点 $F$ ．试猜想线段 $A E$ 与 $E F$ 的数量关系．

(1)、【建立模型】
同学们发现，过点 $E$ 分别作 $E H ⊥ A B$ ， $E I ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ ， $I$ ，可以由 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题．

(2)、【模型应用】
小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长 $F E$ 交直线 $C D$ 于点 $G$ ，请你判断线段 $A E$ 与 $E G$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【模型迁移】
小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当 $E$ 为直线 $B D$ 上一动点，猜想线段 $B E$ ， $D E$ ， $G D$ 之间的数量关系并直接写出结论．

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3、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $O (0, 0)$ ， $C (4, 0)$ ．给出如下定义：对于线段 $O C$ 及 $O C$ 外一点 $P$ ，若线段 $O C$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，满足 $∠ A P B = 90 °$ 且 $P A = P B$ ，则称点 $P$ 为线段 $O C$ 的“等腰直角点”．

(1)、已知点 $P (2, 1)$ 是线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $P A$ 的长；

(2)、当 $P A = 2 \sqrt{2}$ 时，求线段 $O C$ 的“等腰直角点” $P$ 的坐标；

(3)、当 $P A = \sqrt{2}$ 时，直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 上存在线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $b$ 的取值范围；

(4)、如图2，已知正方形 $E F G H$ 的四个顶点为 $E (1, 2)$ ， $F (2, 1)$ ， $G (3, 2)$ ， $H (2, 3)$ ．若正方形 $E F G H$ 的边上存在线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $P A$ 长的取值范围．

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4、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $E$ 为 $A B$ 延长线上一点，延长 $E D$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $∠ B D E = 2 ∠ B A C$ ，连接 $O D$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 2$ ， $D E = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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5、近年来，我国加快推动能源绿色低碳转型，持续提高新能源供给比重，推进化石能源安全可靠有序替代，着力构建新型电力系统，建设能源强国．我国清洁能源（水电、核电、风电、太阳能）发电规模实现历史性跃升，能源结构转型成效显著．某综合实践研究小组根据我国相关部门公布的规模工业发电量的数据进行整理、描述与分析，给出部分数据信息：
信息一：2016—2025年火电、清洁能源及太阳能年度发电量统计图
信息二：2024年1—12月清洁能源月度发电量的中位数是2513；2025年1—12月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558．
信息三：2025年火电、清洁能源月度发电量统计图
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、2016—2025年，清洁能源年度发电量的变化趋势：．

(2)、下列结论正确的是．（填序号）
①2025年，第二季度火电和清洁能源月度发电量都持续增长；
②清洁能源月度发电量2025年有9个月超出2024年的中位数；
③太阳能年度发电量2021—2025年比2016—2020年增长快．

(3)、结合以上信息，请你谈谈对我国未来能源发展趋势的看法．

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6、位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度 $A B$ ．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点 $C$ 处测得 $∠ A E G = 20 °$ ，然后沿 $C B$ 方向往前走 $200 m$ 到达点 $D$ 处，测得 $∠ A F G = 35.9 °$ ， $C E = D F = B G = 1.5 m$ （测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内． $A$ ， $G$ ， $B$ 三点共线， $A B ⊥ B C$ ， $C E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ B C$ ， $E G = C B$ ．求最高处烽火台距离地面的高度 $A B$ （结果精确到 $0.1 m$ ）．参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 20 ° \approx 0.36$ ， $s i n 35.9 ° \approx 0.59$ ， $c o s 35.9 ° \approx 0.81$ ， $t a n 35.9 ° \approx 0.72$ ．

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7、问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周．

(1)、问题解决：
如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心 $O$ ，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周：
①作 $⊙ O$ 的任意直径 $A B$ ；
②过点 $O$ 作 $A B$ 的垂线，与 $⊙ O$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 将 $⊙ O$ 四等分．说明四等分圆周的依据： ▲

(2)、拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成．

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8、如图，一次函数 $y = - x + b$ 的图象是由 $y = a x$ 的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $A$ ． $E$ 为 $y$ 轴上一点， $D E$ 分别交一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $D$ ， $F$ ．过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ， $B C$ 为 $△ A D E$ 的中位线， $B C = 1$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求线段 $D F$ 的长．

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9、

(1)、初步探究： $6 6^{3} - 66$ 能被67整除吗？请你说明理由．

(2)、迁移应用：当 $n$ 为大于1的整数时，请说明 $n^{3} - n$ 能否被三个连续的整数整除？

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10、 $x$ 取哪些整数值时，不等式 $3 x + 4 > - 2$ 和 $4 (x - 0.5) < 0.5 x + 1.5$ 都成立？

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11、计算： $\sqrt{6} \times (\sqrt{12} - \sqrt{3})$ ．

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12、已知二次函数 $y = - x^{2} + 6 x + 1$ ，下列结论正确的是．（填序号）
①函数图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0, 1)$ ； ②函数图象的对称轴是直线 $x = 3$ ；
③当 $x > 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大； ④当 $x = 3$ 时，函数的最大值是10．

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13、在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $△ C O D$ 是等边三角形， $A B = 2 c m$ ，则 $▱ A B C D$ 的面积是 $c m^{2}$ ．

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14、如图，点 $C$ ， $F$ 在 $B E$ 上， $B F = E C$ ， $∠ A = ∠ D$ ，要使 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，需添加的一个条件是．（只写一个）

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15、若 $a^{2} - 2 = 2$ ，则 $2 a^{2} - 4 =$ ．

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16、如图1，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ 点， $Q$ 是 $B C$ 的中点，连接 $O Q$ ．动点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $A C \to C D$ 匀速运动，运动到 $D$ 点时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ，线段 $P Q$ 的长为 $y$ ，如图2， $y$ 关于 $x$ 的函数图象的最低点是 $M$ 点，则 $O Q$ 的长是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{5}$

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17、甘肃是中国简牍大省，河西走廊乃汉简之都，部分简牍上的文字用篆体书写．小宇参观甘肃简牍博物馆后，在四张材质、大小完全相同的卡片正面用篆体分别写上“”“”“”“”（我爱兰州），将这四张卡片背面朝上洗匀放好．小宇从中随机抽取两张卡片，恰好能组成“”一词的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、一辆汽车的行驶距离 $s$ 关于行驶时间 $t$ 的函数关系式是 $s = \frac{1}{2} {(t + 9)}^{2} - \frac{81}{2}$ ．若汽车行驶 $440 m$ ，则行驶时间是（）

A、 $20 s$ B、 $21 s$ C、 $22 s$ D、 $23 s$

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19、敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于⊙O的正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形 $I J K L$ 以45度角交错套叠而成，其中 $∠ E A D = ∠ I E F = 45 °$ ，则正方形 $A B C D$ 与正方形 $I J K L$ 的相似比是（）

A、 $1 ∶ \sqrt{2}$ B、 $1 ∶ 2$ C、 $1 ∶ 2 \sqrt{2}$ D、 $1 ∶ 4$

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20、《九章算术》中记载了一道题，原文是：籴（dí）上粟二斗、下粟三斗，共价六十二钱；上粟五斗、下粟四斗，共价九十九钱，问上下粟斗价各几何？译文是：买2斗上粟，3斗下粟共62文；买5斗上粟，4斗下粟共99文，求上、下粟每斗价格？设上粟每斗 $x$ 文，下粟每斗 $y$ 文，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 62 \\ 5 x + 4 y = 99 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 62 \\ 4 x + 5 y = 99 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 62 \\ 5 x + 4 y = 99 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 62 \\ 4 x + 5 y = 99 \end{array}$

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