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1、下列能准确表示榆中县某个地点位置的是（）

A、北纬 $35 ° 5 1^{'}$ B、东经 $104 ° 0 9^{'}$ C、兰州东北方 D、东经 $104 ° 0 9^{'}$ ，北纬 $35 ° 5 1^{'}$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $M (n, n)$ ， $A (n - 1, n)$ ， $B (n - 2, n - 1)$ ， $C (n + 1, n)$ ， $D (n + 2, n - 1)$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ，将线段 $A B$ ， $C D$ 所组成的图形称之为“ $M -$ 八字形”．我们给出如下的定义：点 $P (x, y)$ 先关于 $A B$ 与 $C D$ 所在直线分别对称得到点 $P_{1}^{'}$ ， $P_{2}^{'}$ ，再将 $P_{1}^{'}$ ， $P_{2}^{'}$ 向右 $(n \geq 0)$ 或向左 $(n < 0)$ 平移 $| n |$ 个单位，再向上 $(n \geq 0)$ 或向下 $(n < 0)$ 平移 $| n |$ 个单位得到点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，称 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 为点 $P$ 关于“ $M -$ 八字形”的“八中变换点”．

(1)、当 $n = 0$ 时，
①已知点 $P (0, - 2)$ ，则点 $P$ 关于“ $M -$ 八字形”的“八中变换点”坐标为．
②已知 $E (a, - 1)$ ， $F (a + 2, - 1)$ ，若点 $P$ 为线段 $E F$ 上一动点，设图形 $N$ 为所有 $P$ 关于“ $M -$ 八字形”的“八中变换点”，若 $y = 1$ 与图形 $N$ 有两个交点，则 $a$ 的取值范围为．

(2)、若点 $P$ 在以 $(n - 1, n - 1)$ ， $(n, n - 1)$ ， $(n, n - 2)$ ， $(n - 1, n - 2)$ 为顶点的正方形上运动，且 $x = - 1$ 上存在点 $P$ 关于“ $M -$ 八字形”的“八中变换点”，则 $n$ 的取值范围为．

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3、若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a ， b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．

(1)、判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成 $a^{2} + b^{2}$ 的形式，不是的话直接写“否”．

(2)、已知 $S = x^{2} + 4 x + k$ （ $x$ 是整数， $k$ 是常数），要使 $S$ 为“智慧数”，直接写出一个符合条件的 $k$ 值．

(3)、如果数m ， n都是“智慧数”，判断 $m n$ 是否为“智慧数”，并说明理由．

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4、如图， $∠ A O B = 45 °$ ，点 $C$ 为 $O A$ 上一点（不与 $O$ 重合），点 $P$ 为 $O B$ 上一点（不与 $O$ 重合）， $△ O P D$ 为等腰三角形， $∠ O D P = 150 °$ ， $D Q ⊥ C D$ ， $∠ D P Q = 120 °$ ， $∠ C D P < 90 °$ ．

(1)、如图1，当点 $O$ ， $D$ ， $Q$ 共线时，直接写出 $O C$ ， $P Q$ 之间的数量关系．

(2)、如图2，当点 $P$ 在 $O B$ 上运动时，写出 $O C$ ， $P D$ ， $P Q$ 之间的数量关系并证明．

(3)、连接 $C Q$ ，当 $△ P C Q$ 为等腰三角形时，直接写出 $∠ C P Q$ 的度数．

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5、在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式 $x^{2} - 4$ 就可以分解成 $(x + 2) (x - 2)$ ，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取 $x = 16$ ，那么 $x + 2 = 18$ ， $x - 2 = 14$ ， 14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如 $x^{2} (x + 2)$ ，我们取 $x^{2}$ 和 $(x + 2)$ 的值作为两个因式码．

(1)、根据上述方法，若多项式为 $x^{2} - 16$ ，当 $x = 15$ 时，请直接写出密码为．

(2)、若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为 $x^{3} - x$ ，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．

(3)、已知多项式 $4 x^{4} - x^{2}$ ，当 $x$ 取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由．

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6、已知：如图， $∠ A D E = ∠ A D B$ ，点 $C$ 在 $D E$ 的反向延长线上且 $A C = A B$ ，求证： $∠ B = ∠ C$ ．

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7、已知：如图，线段 $A B$ 和射线 $B M$ 交于点B ．

(1)、利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）
①射线 $B M$ 上作一点C ，使 $A C = A B$ ，连接 $A C$ ；
②作 $∠ A B M$ 的角平分线交 $A C$ 于D点；
③在射线 $C M$ 上作一点E ，使 $C E = C D$ ，连接 $D E$ ．

(2)、在（1）所作的图形中，猜想线段 $B D 与 D E$ 的数量关系，并证明之．

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8、请将以下推导过程补充完整．
如图，已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，连接 $B D$ ，过 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，且 $C E = A D$ ，连接 $A E$ ．求证： $B D = A E$ ．

证明：∵ $C E ∥ A B$
∴ $∠ B A D = ∠ A C E$
∵ $∠ A B C = ∠ A C B$
∴=
在 $△ A B D$ 与 $△ C A E$ 在中
$A B =$
$∠ B A D =$
$C E = A D$
∴ $△ A B D ≌ △ C A E$ （）．
∴ $B D = A E$

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9、先化简，再求值：已知 $x^{2} - 4 x = 1$ ，求 ${(x - 3)}^{2} - 2 (1 - x) + 3$ 的值．

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10、因式分解：

(1)、 $x^{2} y - 6 x y + 9 y$

(2)、 ${(a - 2 b)}^{2} - b^{2}$ ，

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11、计算：

(1)、 ${(x^{2})}^{3} \cdot x^{4} \div x^{5}$ ；

(2)、 $(2 x + y) (x - 3 y)$ ；

(3)、 $(3 x^{2} y + 9 x y^{2} - 6 x y) \div 3 x y$

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12、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 6$ ， D是线段AB上一个动点，以BD为边在 $△ A B C$ 外作等边 $△ B D E$ ．若F是DE的中点，当CF取最小值时， $△ B D E$ 的周长为．

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13、已知：如图，大正方形的边长为 $a$ ，小正方形的边长为 $b$ ，若 $a^{2} + b^{2} - 8 a - 2 b + 17 = 0$ ，则阴影部分的面积为．

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14、已知 $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a - b = 3$ ，则 $a b$ 的值是．

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15、已知：如图， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一条直线上，且 $A C = C D$ ，当 $A B ∥ D E$ 时， $∠ E C D$ 的度数= ．

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16、如图， $△ A B C$ 中 $A D$ ， $B E$ 分别是 $△ A B C$ 的高和角平分线，若 $∠ C = 70 °$ ， $∠ A E B = 95 °$ ，则 $∠ B A D =$ °．

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17、如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 $∠ P + ∠ O =$ ．

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18、已知 $3^{a} = 2$ ， $3^{b} = 4$ ，则 $3^{a + 2 b} =$ ．

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19、 ${(π + 1)}^{0} =$ ．

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20、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的角平分线交于点 $O$ ， $A D$ 经过点 $O$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ，以 $A D$ 为边向两侧作等边 $△ A D E$ 和等边 $△ A D F$ ，分别和 $A B$ 、 $A C$ 交于点 $G$ ， $H$ ，连接 $G H$ ．若 $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = a$ ， $A C = b$ ， $A D = c$ ．则下列结论中正确的结论是（）
① $∠ B O C = 120 °$ ；② $△ A G H$ 是等边三角形；③ $D G = \frac{1}{2} c$ ；④ $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} (a + b) c$ ．

A、①④ B、①②③ C、②③ D、①②③④

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