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1、实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：
【知识生成】（1）一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b$ 的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个 ${(a - b)}^{2} ， {(a + b)}^{2}$ ， $a b$ 三者之间的等量关系式：__________________．
【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若 $a + b = 10, a b = 5$ ，求 ${(a - b)}^{2}$ 的值：
【类比迁移】（3）如图3，若 $a + 2 b = 16, a - 2 b = 4$ ，求阴影部分的面积．

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2、阅读并解决相应问题
在数轴上，点A表示的数为 $- 2$ ，点B表示的数为3．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”如图1，若点P表示的数为 $\frac{1}{2}$ ，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为 $\frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$ ，则称点P为点A、B的“5节点”．

(1)、填空：
①若点P表示的数为0，则n的值为________；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．

(2)、类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值．

(3)、拓展延伸：
若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的 $\frac{2}{3}$ ，且此时点P为点A、B的“n节点”，求点P表示的数及n的值．

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3、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．

(1)、填空： $|a| =$ ______； $|a - b| =$ ______；

(2)、化简： $|a + c| - 3 |c - b| + 2 |a + b|$ ．

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4、如图，数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} \geq 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $| a | > | b |$

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5、某中学环保社团为了解本校学生对垃圾分类的认知与实践情况，随机调查了部分学生，调查类别为：不参与、偶尔参与、经常参与、主动参与，共四类．以下是对调查结果所做的条形统计图和扇形统计图，请根据统计图表回答下列问题：

(1)、此次调查中接受调查的学生的人数为________人；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该校共有学生2000人，根据调查结果估计该校“偶尔参与”，“经常参与”及“主动参与”的学生人数共有多少人？

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6、【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，若数轴上点 $A$ ， $B$ 表示的数分别为 $a$ ， $b$ ，点 $B$ 在点 $A$ 的右边，则点 $A$ ， $B$ 之间的距离用 $A B$ 表示， $A B = b - a$ ．
【综合运用】在数轴上点 $A$ ， $C$ 表示的数分别为 $a$ ， $c$ ，且 $a$ ， $c$ 满足 $|a + 4| + {(c - 2)}^{2} = 0$ ．

(1)、 $a =$ ， $c =$ ， $A C =$ ．

(2)、若点 $A$ 向右运动 $m$ 个单位长度，此时点 $A$ 所对应的数是．（用含 $m$ 的式子表示）

(3)、如图，已知数轴上点 $B$ 对应的数为 $- 2$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在数轴上运动，若点 $A$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度向左运动，同时点 $B$ 和点 $C$ 分别以每秒 $1$ 个单位长度和 $5$ 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为 $t$ 秒．问 $B C - A B$ 的值是否会随着 $t$ 的变化而变化？请通过计算说明．

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7、如图，长为 $50 cm$ ，宽为 $(4 a + 3) cm$ 的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为 $a cm$ ．

(1)、每个小长方形较长的一边长是 cm，阴影部分B的较短的一边长是 cm（用含a的式子表示）；

(2)、当 $a = 10$ 时，求阴影部分A，B的周长之和的值．

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8、一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．

(1)、图2给出的四种纸样中，正确的有．（写出所有正确答案）

(2)、根据图1中的数据（单位： $cm$ ），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积．

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9、在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数连接起来．
$- 5$ ， $|- 1|$ ， $- 2 \frac{1}{2}$ ， $- (- 3)$ ， 5

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10、如图，6个相同的小立方体组成一个几何体，分别画出从正面、上面看到的形状图．

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11、烷类有机化合物中前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为．

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12、一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“顺”相对面上的字是．

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13、有理数a，b在数轴上表示如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b < 0$ D、 $|b - a| = a - b$

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14、如图，这是“国礼青花瓷”，下列青花瓷可看作是由如图所示的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ．以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，且使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $\sin ∠ D A C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $A D$ 的长．

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16、已知：点 $P (1, m)$ 、 $Q (n, \frac{1}{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 的图象上，直线 $y = k x + b$ 经过点P、Q，且与x轴，y轴的交点分别为A、B两点．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、O为坐标原点，C在直线 $P Q$ 上且满足 $A B = A C$ ，点D在坐标平面内，顺次连接点O、B、C、D的四边形满足： $B C ∥ O D ， B O = C D$ ，求D点坐标．

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17、如图，拱门的上部是一段圆弧 $A D$ ，其圆心O在线段 $E F$ 上，点E是弧 $A D$ 的中点，下部是宽 $B C$ 为 $4.8 m$ ，高 $A B$ 为 $2.8 m$ 的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度 $E F$ 为 $4 m$ ， $E F ⊥ A D$ 于点P，连接 $A O$ ．求上部圆弧的半径 $A O$ 的长．

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18、如图，点 $D$ ， $E$ 是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的点， $D E ∥ B C$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$

(2)、若 $A E = 5$ 、 $A C = 6$ ， $B C = 7$ ，求 $D E$ 的长．

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19、已知二次函数y=ax²+bx+c图象与y轴交于点 $A (0, - 2)$ ，顶点为 $B (1, - 3)$ ．

(1)、求该二次函数解析式．

(2)、当 $0 \leq x \leq 6$ 时，求y的取值范围．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直，点E，F分别是 $A D ， B C$ 的中点，连接 $E F$ ，已知 $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，则

（1）四边形 $A B C D$ 的面积为；
（2） $E F$ 的长为．

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