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1、如果一个正整数 n 的倒数可以分解成两个正整数 a，b (a，b 均不为 n) 倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为 n 的 “最大倒分解”，这个最大的差记为： $F (n) = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ ，例：12 的倒分解为 $\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，因为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} > \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，所以最大倒分解为 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}$ ，所以 $F (12) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

(1)、填空：写出 8 的一种倒分解：；

(2)、计算 F(36) 的值；

(3)、若 $3 m + 6$ 的最大倒分解为 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{m + 2}$ ，且 $F (3 m + 6) = \frac{1}{6}$ ，求 m 的值.

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2、

(1)、找一组不为0的数a，b，c，d，使得 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立. 由这组数值计算下面各组中两个分式的值，看看两个分式之间有什么关系.
① $\frac{a + b}{b}$ 和 $\frac{c + d}{d}$ ；
② $\frac{a + b}{a - b}$ 和 $\frac{c + d}{c - d} (a \neq b, c \neq d)$ .

(2)、对于任意一组不为零的数a，b，c，d，若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 成立，(1)中各组两个分式的关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

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3、阅读材料题：
已知： $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$ ，求分式 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c}$ 的值.
解：设 $\frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = k$ ；
所以 $\frac{2 a + 3 b - c}{a - b + 2 c} = \frac{6 k + 12 k - 5 k}{3 k - 4 k + 10 k} = \frac{13 k}{9 k} = \frac{13}{9}$ .

(1)、上述解题过程中，第①步运用了的基本性质；第②步中，由 $\frac{13 k}{9 k}$ 求得结果 $\frac{13}{9}$ 运用了的基本性质；

(2)、参照上述材料解题：
已知： $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{6}$ 。求分式 $\frac{x + 2 y - 7}{x - 2 y + 3 z}$ 的值.

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4、在解答题目“已知x=2024，求 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} \div \frac{x^{2} + 2 x}{2 x^{3}} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2}$ 的值”时，小明误将x=2024看成了x=2025，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？

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5、若 $a^{2} + 2 a - 15 = 0$ ，则代数式 $(a + \frac{4 a + 4}{a}) \frac{a^{2}}{a + 2}$ 的值为．

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6、按一定规律排列的式子： $- \frac{3 b}{a} ， \frac{8 b}{a^{3}} ， - \frac{15 b}{a^{5}} ， \frac{24 b}{a^{7}}$ ， ······第n个式子是.

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7、老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”. 过程如下：
整个游戏过程，负责的那一步出现了错误．

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8、已知当 $x = - 4$ 时，分式 $\frac{x - b}{2 x + a}$ 无意义；当 $x = 2$ 时，此分式的值为0，则 $(\frac{2 a}{b})^{2} - \frac{1}{a \cdot b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 的值是( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9、化简 $(x^{3} y^{2})^{2} \frac{x}{y^{3}}$ ，结果正确的是（）

A、 $x^{5} y$ B、 $x^{6} y$ C、 $x^{6} y^{2}$ D、 $x^{7} y$

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10、端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售. 细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）

A、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 2} = 10$ B、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 2} = 10$ C、 $\frac{240}{x - 2} - \frac{240}{x} = 10$ D、 $\frac{240}{x + 2} - \frac{240}{x} = 10$

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11、下列计算正确的是( )

A、 $a^{3 m} \div a^{m} = a^{2 m}$ B、 $2 a^{3} \cdot a^{2} = 2 a^{6}$ C、 $(- a^{2})^{3} = a^{6}$ D、 $(- \frac{2 a^{3}}{3 b})^{2} = \frac{2 a^{5}}{9 b^{2}}$

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12、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 $\frac{| a + 1 |}{a + 1} - \frac{| a |}{a} - \frac{b - a}{| a - b |}$ 的值是( )

A、-1 B、0 C、1 D、2

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13、化简 $\frac{2 a^{2} b}{6 a b^{2}}$ 的结果是( )

A、 $\frac{a}{3 a b}$ B、 $\frac{2 a}{3 b^{2}}$ C、 $\frac{a}{3 b^{2}}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、若 $\frac{x - 1}{□}$ 是分式，则 $□$ 可以是（）

A、π B、x C、0 D、2024

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15、解答下列问题：

(1)、已知 $5 x - 2 y - 2 = 0$ ，求 $1 0^{5 x} \div 1 0^{2 y}$ 的值；

(2)、若 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{4}$ ， $a^{m} \div a^{n} = a^{8}$ ，求mn的值.

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16、某同学化简a（a+2b）-（a+b）（a-b）出现了错误，解答过程如下：
原式=a²+2ab-（a²-b²）（第一步）
=a²+2ab-a²-b²（第二步）
=2ab-b²（第三步）

(1)、该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；

(2)、写出此题正确的解答过程.

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17、已知 ${(a^{3})}^{y} = a^{6}$ ， ${(a^{2})}^{y} + a^{y} = a^{3}$ ，

(1)、求 xy 和 $2 x - y$ 的值；

(2)、求 $4 x^{2} + y^{2}$ 的值.

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18、某市有一块长为 $(3 a + b) m$ ，宽为 $(2 a + b) m$ 的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为 $a = (a + b) m$ 的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化.

(1)、绿化部分的面积是多少平方米（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）？

(2)、若 $x = (a + 1) (x + 3) = x^{2} + a x + b$ ，求绿化部分的面积.解答：

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19、对a， b， c， d规定运算 $| \begin{array}{l} a b \\ c d \end{array} | = a d - b c$ .

(1)、请计算 $| \begin{array}{l} a b \\ a + 2 b a - 2 b \end{array} |$ .

(2)、若 $| \begin{array}{l} x + 1 x + 2 \\ x - 2 x + 1 \end{array} | = 10$ ，求x的值.

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20、已知 $x = y + 4$ ，则代数式 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 25$ 的值为.

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