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1、《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出 $4$ 尺；竖着放，比门高长出 $2$ 尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为 $x$ 尺，下列方程正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} + x^{2} = {(x + 4)}^{2}$ B、 ${(x - 4)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = x^{2}$ C、 ${(x - 4)}^{2} + x^{2} = {(x - 2)}^{2}$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = x^{2}$

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2、用配方法解方程 $x^{2} - 8 x - 1 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 8)}^{2} = 15$ B、 ${(x - 8)}^{2} = 17$ C、 ${(x - 4)}^{2} = 15$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 17$

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3、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 130 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $120 °$ D、 $125 °$

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4、用反证法证明“在 $△ A B C$ 中，如果 $A B = A C$ ，那么 $∠ B = ∠ C$ ”，第一步应假设（）

A、 $∠ B > ∠ C$ B、 $∠ B < ∠ C$ C、 $∠ B \neq ∠ C$ D、 $∠ B = ∠ C$

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5、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{12}$

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6、要使式子 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则 $x$ 的值可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、以下是一些著名摩托车品牌的标志图案，其中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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8、课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮 $A$ ，一端拴在滑块 $B$ 上，另一端拴在物体 $C$ 上，滑块 $B$ 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 $B$ 的左右滑动来调节物体 $C$ 的升降．实验初始状态如图1所示 $(A C ⊥ B C)$ ，物体 $C$ 静止在直轨道上，物体 $C$ 到滑块 $B$ 的水平距离是 $6 dm$ ，绳长 $(A B + A C)$ 为 $18 dm$ ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮 $A$ 、滑块 $B$ 和物体 $C$ 的大小忽略不计，都看作一个点）

(1)、求实验初始状态下 $A B$ 的长．

(2)、如图2，若物体 $C$ 上升 $7 dm$ 到达 $C_{1}$ 的高度时，
①求 $A B_{1}$ 的长．
②滑块 $B$ 水平向左滑动到 $B_{1}$ 的距离．

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9、计算：

(1)、 $\sqrt{27} + \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、已知 $x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}, y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的值．

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10、如图，正方形 $O M N P$ 的顶点O与正方形 $A B C D$ 的对角线交点O重合，正方形 $A B C D$ 和正方形 $O M N P$ 的边长都是 $2 cm$ ，则图中重叠部分的面积是 ${cm}^{2}$ ．

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11、长方形的长为 $(\sqrt{2} + \sqrt{8}) cm$ ，宽为 $\sqrt{8} cm$ ，则长方形的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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12、有一首古算诗：“波平如镜一湖面，半尺高处生红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处二尺远，花贴湖面似睡莲．”其大意为：湖面平静如镜，红莲高出水面半尺，姿态优美地立在湖中央，突然被风吹斜后花尖恰好触及水面，且离原来的位置水平二尺远．其平面示意图如图所示， $A B = A B^{'}, A B ⊥ B^{'} C$ 于点 $C$ ， $B C = 0.5$ 尺， $B^{'} C = 2$ 尺，则 $A C$ 的长为（）

A、3尺 B、4尺 C、 $\frac{15}{4}$ 尺 D、 $\frac{17}{4}$ 尺

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13、小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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14、如图， $Rt △ A B C$ 的一直角边 $A B$ 在数轴上， $A$ 点对应的数为-1， $B$ 点对应的数为2， $B C = 1$ ，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 长为半径画圆弧，交数轴于点 $P$ ，则点 $P$ 在数轴上所表示的数是（　　）

A、 $\sqrt{10} - 1$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $- \sqrt{10} + 3$ D、3.1

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15、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = 2$

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16、平行四边形的对角线一定具有的性质是（）

A、相等 B、互相垂直 C、互相平分 D、以上都不对

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17、下列二次根式是最简二次根式的为（　　）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{1.5}$

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18、一个正六边形的内角和为（）

A、 $720 °$ B、 $540 °$ C、 $360 °$ D、 $180 °$

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19、二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x > 1$ D、 $x \geq 1$

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20、如图1，在菱形ABCD中， $∠ D = 6 0^{\circ} ，$ E为线段AD 上一动点(不与端点A，D重合)，连接BE交对角线AC于点 F，将射线 BE绕点B逆时针旋转 $6 0^{\circ}$ 交射线DC于点 G.

(1)、求证： AF=CG；

(2)、如图2，设∠AEB=α°，将射线AD绕点A逆时针旋转α°，交BE于点H，交CD于点M，连接EG交AM于点N.
①求证： GN=2NE；
②如图3，连接AG，若AG=2AE， AD=6，求AG的长.

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