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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 3, 0), \vec{b} = (m, 2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{6} = 11$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $\frac{47}{5}$ D、 $\frac{31}{5}$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $C D = 2 B D$ ．

(1)、若 $\cos ∠ A D C = - \frac{1}{4}$ ， $A C = 8$ ， $A D = 4$ ，求 $A B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $B = \frac{π}{3}$ ，求 $\frac{B D}{A B}$ 的取值范围．

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4、如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A, C$ 的动点，等腰直角三角形 $△ S O C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求圆锥 $S O$ 的表面积；

(2)、若点 $B$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的一个三等分点，求三棱锥 $A - S B C$ 的体积.

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5、如图所示的两个对称的等腰 $△ A B O$ 与 $△ A_{1} B_{1} O$ ，且 $A B = 2$ ， $A O = \sqrt{5}$ ，若该平面图形绕着直线 $l_{1} (l_{1} ∥ A B)$ 旋转一周围成的几何体的体积记为 $V_{1}$ ，该平面图形绕着直线 $l_{2} (l_{2} ⊥ A B)$ 旋转一周围成的几何体的体积记为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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6、如图，一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则平面图形 $O A B C$ 的面积为.

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7、折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 2 O C = 2 O D = 2$ ，点F在弧 $A B$ 上，且 $∠ B O F = 120 °$ ，点E在弧 $C D$ 上运动.则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O D} \cdot \vec{D A} = \sqrt{3} - 1$ B、 $\vec{O F} = λ \vec{O A} + m \vec{O B}$ ，则 $λ + m = \sqrt{3} + 1$ C、 $\vec{O F}$ 在 $\vec{D F}$ 方向上的投影向量为 $\frac{5}{7} \vec{D F}$ D、 $\vec{E F} \cdot \vec{E B}$ 的最小值是 $- 3$

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8、下列命题正确的（）

A、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B、两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、用平面截圆柱，得到的截面不可能是等腰梯形 D、底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱

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9、如图，为了测量河对岸两点 $C, D$ 间的距离，现在沿岸相距 $2 km$ 的两点 $A, B$ 处分别测得 $∠ B A C = 105^{\circ}, ∠ B A D = 60^{\circ}, ∠ A B C = 45^{\circ}, ∠ A B D = 60^{\circ}$ ，则 $C, D$ 间的距离为（）

A、 $\sqrt{2} km$ B、 $\sqrt{3} km$ C、 $2 km$ D、 $2 \sqrt{2} km$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $sin 2 B cos A = sin C cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形

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11、以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A、8π B、4π C、8 D、4

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对各边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，则角 $A =$ （）

A、 $60 °$ B、 $120 °$ C、 $30 °$ D、 $150 °$

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13、已知 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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14、若复数 $z$ 满足 $(3 - i) (z + 2) = 2 + 6 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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15、若 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{A C} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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16、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{m} \otimes \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| sin θ$ .

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2), |\vec{b}| = \sqrt{5}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 3), B (2, 2), C (3, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{sin α}, \frac{2}{cos α}), \vec{b} = (- \frac{2}{cos α}, \frac{1}{sin α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 2 {cos}^{2} x + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为3.

(1)、求 $m$ ；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、将 $f (x)$ 的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6})$ 且 $x_{1} \neq x_{2}, g (x_{1}) = g (x_{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的值.

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18、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 2), g (x) = {log}_{a} (2 - x)$ .

(1)、判断 $f (x) + g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、令函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，解关于 $x$ 的不等式 $h (2 x - 3) > h (3 x - 1)$ .

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19、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，已知 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 11, △ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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20、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{c}$ ，且 $|\vec{c}| = 1$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $m \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $m$ 的取值范围.

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