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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 4 \tan (ω x - φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（）
① $ω = 2$ ；② $φ = \frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的图象与y轴的交点坐标为 $(0, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ ；④函数 $y = | f (x) |$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、在 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{A B} = (x, 1)$ ， $\vec{B C} = (- 3, 2 - x)$ ，若 $∠ A B C$ 为锐角，则实数x的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2})$

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3、要得到 $y = sin (4 x + \frac{π}{3}) - cos (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象（）

A、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位 C、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{M C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

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5、已知函数 $y = \tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、对 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，若不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立．也可理解为若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可导， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数， $f^{″} (x)$ 为 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数，当 $f^{″} (x) \geq 0$ 时，函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，当 $f^{″} (x) \leq 0$ 时，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = ln (x + 1) - x (x > 0)$ 的凹凸性；

(2)、若 $x_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 1$ ，令 $h (x) = \frac{x_{1}}{\sqrt{1 - x_{1}}} + \frac{x_{2}}{\sqrt{1 - x_{2}}} + \dots + \frac{x_{n}}{\sqrt{1 - x_{n}}} (n \geq 2)$ ，求 $h (x)$ 的最小值 $a_{n}$ ；

(3)、 $a_{n}$ 为（2）问所得结果，证明不等式： $(n - 1) a_{n}^{2} < e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F$ 为 $C$ 的右焦点，短半轴长为 $1, A$ 为 $C$ 上动点， $|A F|$ 的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M (\sqrt{3}, 1)$ ，点 $P$ 为 $C$ 外一点，直线 $P F$ 交 $C$ 于 $Q, R$ 两点，
（i） $O$ 为原点，若 $|\vec{O Q} + \vec{O R}| = |\vec{O Q} - \vec{O R}|$ ，求直线 $P F$ 的方程；
（ii）记直线 $M Q, M R, M P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，若 $\frac{k_{1} - k_{2}}{k_{3} - k_{2}} = 2$ ，求 $△ P F M$ 的面积．

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8、如图，梯形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $D C$ 上一点， $A B = 2, A D = 2, A O = 2 \sqrt{3}$ ，且 $A O ⊥ A D, A O / / B C$ ，将 $△ D A O$ 沿着 $A O$ 翻折至 $P A O$ 所在位置，使得平面 $P A O ⊥$ 平面 $A B C O$ ，连接 $P B, P C$ ，得到四棱锥 $P - A B C O, E$ 为 $P B$ 的中点.

(1)、若 $F$ 为 $A O$ 的中点，证明： $E F$ $∥$ 平面 $P O C$ ；

(2)、在线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $O M ⊥ A B$ ，若存在，求直线 $B M$ 与平面 $P A O$ 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.

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9、某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立.

(1)、求乙同学总得分为40分的概率；

(2)、用 $X$ 表示甲同学的总得分，求 $X$ 的分布列与期望；

(3)、判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大.

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} = {(a + c)}^{2} - a c$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}, D$ 为 $A C$ 的中点，且 $|A C| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B D$ 的长．

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11、已知函数 $f_{n} (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x$ ，其中 $n = 2 k, k \in N^{*}$ ，记函数 $f_{2 k} (x)$ 的最小值为 $a_{k}$ ，若 $\forall λ > 0, \forall k \in N^{*}$ ，都有 $2 λ^{2} - t λ + 2 > \frac{a_{k}}{(2 k - 1)}$ ，则 $t$ 的取值范围为．

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12、已知正四面体 $P - A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则该四面体内半径最大的球的表面积为.

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13、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, - 2)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（用坐标表示）.

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14、已知抛物线 $E : x = \frac{1}{4} y^{2}$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l, l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，过 $F$ 的直线与 $E$ 分别交于 $A, B$ 两点，则以下选项正确的是（）

A、 $F$ 坐标为 $(1, 0)$ B、当 $M A ⊥ M B$ 时， $|A B| = 4$ C、若 $|A F| \cdot |B F| = 16$ ，则 $S_{△ M A B} = 8 \sqrt{2}$ D、过点 $F$ 作与 $A B$ 垂直的直线与 $E$ 交于 $C, D$ 两点，则四边形 $A C B D$ 面积的最小值为32

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 3}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{3} = \frac{1}{26}$ B、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = 36$ ，则 $n = 3$ C、 $a_{n} = 3^{n} - 1$ D、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{b_{n}}{3^{n}} = a_{n} a_{n + 1}$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n + 1} - 2}$

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16、已知 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项式系数和为64，则（）

A、 $n = 6$ B、常数项是第3项 C、二项式系数最大值为20 D、所有项系数之和等于1

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17、函数 $f (x) = \ln | 1 - x | + e^{(x^{2} - 2 x)}$ .若 $a = f (\frac{2}{3}), b = f (\frac{3}{2}), c = f ({log}_{2} 3)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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18、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 与 $E$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $2 \vec{F_{2} A} = \vec{A B}, O A ⊥ A B$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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19、“ $\exists x \in R$ ，使 $a x^{2} - 4 x - 3 > 0$ ”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a < - \frac{4}{3}$ C、 $a \geq 1$ D、 $a < - \frac{4}{3}$ 或 $a \geq 0$

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20、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则直线 $D C_{1}, B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$

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