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相关试卷

1、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x + \cos x)}^{'} = \cos x + \sin x$ B、 ${(x \ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\frac{x}{e^{x}})}^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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2、计算 $\frac{4 A_{8}^{4} + 2 A_{8}^{5}}{A_{8}^{8} - A_{9}^{5}}$ 的值是（）

A、1 B、0.6 C、0.8 D、1.2

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3、随机变量 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
$- 1$
1
3
P
m
$\frac{1}{3}$
$2 m - 1$
则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{5}{12}$

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4、河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为 $51.3 °$ ， $∠ B D C = 104.5 °$ ， $C D = 2 m$ ， $B D = 3 m$ ，则卧牛雕像的高度 $A B =$ m．（参考数据：取 $\tan 51.3 ° = \frac{5}{4}$ ， $\cos 75.5 ° = \frac{1}{4}$ ）

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $\sin A : (\sin B + \sin C) : \sin B = 7 : 9 : 4$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不确定的

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6、已知数列 $\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， …， $\sqrt{2 n}$ ， $\sqrt{2 n + 2}$ ， …，则 $\sqrt{42}$ 是这个数列的（）

A、第19项 B、第20项 C、第21项 D、第22项

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，若将 $f (x)$ 的图象上每个点先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再向上平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，所得的函数 $g (x)$ 为偶函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于任意的 $x_{1} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，总存在 $x_{2} \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ ，使不等式 ${[f (x_{1})]}^{2} - (4 + m) f (x_{1}) + 2 m + 6 \leq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = 2 f (x) + 1$ 的图象在区间 $[a, b] (a, b \in R, a < b)$ 上至少含有20个零点，在所有满足条件的区间 $[a, b]$ 上，求 $b - a$ 的最小值．

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8、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $\cos 2 α = - \frac{47}{49}$ ， ③ $\frac{1 - \cos α}{\sin α} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，且 .

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $0 < β < α < \frac{π}{2}, \sin (α - β) = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $β$ .
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1 (x \in R)$ .

(1)、将函数化简为 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的形式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{3}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 的单调增区间.

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11、如图， $G$ 是 $△ O A B$ 的重心， $P, Q$ 分别是边 $O A$ ， $O B$ 上的动点，且 $P, G, Q$ 三点共线．设 $\vec{O P} = x \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = y \vec{O B}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =$ ．

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12、正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，如图，点 $P$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上任意一点， $\vec{A P} = λ \vec{A D} + μ \vec{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{3}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\vec{A P} \cdot \vec{A E}$ 最大值是 $\frac{2 \sqrt{10}}{3} + 2$ D、 $|\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{A D}|$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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13、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ）， $f (- \frac{π}{8}) = 0$ ， $f (\frac{π}{8} - x) = f (\frac{π}{8} + x)$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{18}, \frac{π}{9})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、10 B、12 C、14 D、18

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14、已知函数 $f (x) = 4 \tan (ω x - φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的个数是（）
① $ω = 2$ ；② $φ = \frac{π}{3}$ ；
③ $f (x)$ 的图象与y轴的交点坐标为 $(0, - \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ ；④函数 $y = | f (x) |$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、在 $△ A B C$ 中，向量 $\vec{A B} = (x, 1)$ ， $\vec{B C} = (- 3, 2 - x)$ ，若 $∠ A B C$ 为锐角，则实数x的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 3) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3) \cup (3, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2})$

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16、要得到 $y = sin (4 x + \frac{π}{3}) - cos (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = \sqrt{2} sin x$ 的图象（）

A、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位 C、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{48}$ 个单位

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17、如图，在 $△ A B C$ 中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{M C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

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18、已知函数 $y = \tan (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、对 $\forall x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ ，若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，若不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ ，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”，当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立．也可理解为若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可导， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数， $f^{″} (x)$ 为 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上的导函数，当 $f^{″} (x) \geq 0$ 时，函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凹函数”，反之，当 $f^{″} (x) \leq 0$ 时，则称函数 $f (x)$ 是在 $[a, b]$ 上的“凸函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = ln (x + 1) - x (x > 0)$ 的凹凸性；

(2)、若 $x_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 1$ ，令 $h (x) = \frac{x_{1}}{\sqrt{1 - x_{1}}} + \frac{x_{2}}{\sqrt{1 - x_{2}}} + \dots + \frac{x_{n}}{\sqrt{1 - x_{n}}} (n \geq 2)$ ，求 $h (x)$ 的最小值 $a_{n}$ ；

(3)、 $a_{n}$ 为（2）问所得结果，证明不等式： $(n - 1) a_{n}^{2} < e^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F$ 为 $C$ 的右焦点，短半轴长为 $1, A$ 为 $C$ 上动点， $|A F|$ 的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M (\sqrt{3}, 1)$ ，点 $P$ 为 $C$ 外一点，直线 $P F$ 交 $C$ 于 $Q, R$ 两点，
（i） $O$ 为原点，若 $|\vec{O Q} + \vec{O R}| = |\vec{O Q} - \vec{O R}|$ ，求直线 $P F$ 的方程；
（ii）记直线 $M Q, M R, M P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，若 $\frac{k_{1} - k_{2}}{k_{3} - k_{2}} = 2$ ，求 $△ P F M$ 的面积．

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$ξ$	$- 1$	1	3
P	m	$\frac{1}{3}$	$2 m - 1$