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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ ， ${(a_{n} - a_{n - 1})}^{2} = 2 (a_{n} + a_{n - 1}) - 1$ ， $n \geq 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和.

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = n - \frac{1}{2}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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3、已知曲线 $f (x) = x^{3} + 1$ ，设 $P$ 点坐标为 $P (1, 2)$ ，

(1)、求曲线在点 $P$ 处的切线方程；

(2)、求曲线过点 $P$ 的切线方程．

(3)、若曲线在点 $R$ 处的切线与曲线 $y = - x^{2} + 1$ 相切，求 $R$ 点的坐标

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} S_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前40项的和 $T_{40}$ .

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 11$ ， $a_{4} + a_{7} = 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n$ 为何值时，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和取得最大值？

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6、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $a_{10} =$ ； $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{b_{i + 1} - a_{i + 1}} =$ .

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \ln (1 + \frac{1}{n})$ ，则 $a_{5} =$ .

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 3, S_{10} = 9$ ，则 $S_{15} =$ .

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9、已知公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{3}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{5}}$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{9}{4}$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 是等比数列 B、若 $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} = \pm 8$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3^{n - 1} + r$ ，则 $r = - 1$ D、若 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} - 5 x + 2 ln x$ ，则能令 $f^{'} (x) > 0$ 的区间有（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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12、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n} + 1 = 0$ ， $a_{1} = λ$ （ $λ \neq 0$ ，且 $λ \neq \pm 1$ ），记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，则 $T_{2023} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{λ}$ C、 $\frac{1 - λ}{1 + λ}$ D、 $\frac{λ (λ - 1)}{1 + λ}$

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13、函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列排序正确的是（）

A、 $f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a) ＜ f^{'} (a + 1)$ B、 $f^{'} (a + 1) ＜ f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a)$ C、 $f^{'} (a + 1) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a)$ D、 $f^{'} (a) ＜ f (a + 1) - f (a) ＜ f^{'} (a + 1)$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{10} = 20$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、8

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15、若 $f (x) = x^{3} + x - 1, f^{'} (x_{0}) = 4$ ，则 $x_{0}$ 的值为（）

A、 $\pm 3 \sqrt{3}$ B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ D、1

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前几项为： $- 1, 4, - 7, 10, \dots$ ，则该数列的一个通项公式可能为（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n - 2)$ B、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n - 2)$ C、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} (3 n + 1)$ D、 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (3 n + 1)$

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17、如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5 nmile，与小岛D的距离为 $3 \sqrt{5}$ nmile， $∠ B A D$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ .

(1)、求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；

(2)、记 $∠ B D C$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值.

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \sqrt{2} \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若对任意的实数 $λ$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} + 2 λ \vec{b} |$ 恒成立，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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19、设三角形 $A B C$ 的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知 $a = \sqrt{7}$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} + b c = 0$ .

(1)、求三角形 $A B C$ 外接圆半径；

(2)、若三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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20、设复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $1 \leq | z | \leq 2$ ，则 $| z + 1 |$ 的取值范围是．

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