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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x - 1} + 1, x \leq 1 \\ |ln (x - 1)|, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $2 {[f (x)]}^{2} - (2 a + 5) f (x) + 5 a = 0$ 有5个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, 2]$

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2、若 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (π, 2 π)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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3、如图，我们把由平面内夹角成 $60^{\circ}$ 的两条数轴 $O x$ ， $O y$ 构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ ， $O y$ 正方向上的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 $[x, y]$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”.

(1)、若向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”为 $[3 ， 4]$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ 分别为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”. 证明： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{1}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”分别为 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ ，求证： $\vec{a} // \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .

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4、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $C (2 \cos θ, \sin θ)$ ，其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ∥ \vec{O C}$ ，求 $\tan θ$ 的值；

(2)、设点 $D (1, 0)$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围．

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5、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $p (- 4 m, - 3 m) (m > 0)$ .

(1)、求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (- θ) \cdot \sin (θ - 3 π) \cdot \cos (π + θ)}{\sin (2 π - θ) \cdot \cos (3 π - θ) \cdot \sin (\frac{5π}{2} - θ)}$ 的值.

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, m), \vec{c} = (n, - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $m - n =$ .

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7、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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8、下列命题中，正确的命题有（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、 $|\vec{a}| + |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充要条件 C、若 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ， $\vec{b} \neq \vec{0}$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 D、若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $|\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}| = \sqrt{2}$

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9、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 和两点 $A (t, 0)$ ， $B (- t, 0) (t > 0)$ ，若圆 $C$ 上至少存在一点 $P$ ，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} < 0$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 8)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(1, 3)$

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10、如图所示，半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、2

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ， $\vec{D M} = 3 \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{B M} =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{B C}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A B}$ D、 $\vec{D C}$

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13、以下说法中正确的是（）

A、两个具有公共起点的向量，一定是共线向量 B、两个向量不能比较大小，它们的模也不能比较大小 C、单位向量都是共线向量 D、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等

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14、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2$ ， $< \vec{a}, \vec{b} > = 60^{\circ}$ 求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值

(2)、 $|\vec{2 a} + \vec{b}|$ 的值

(3)、 $2 \vec{a} + \vec{b} 与 \vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{1}{3} A B$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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16、悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数 $ch (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的图象.现定义双曲正弦函数 $sh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，回答以下问题：

(1)、类比三角函数的导数关系： $(sin x)^{'} = cos x$ ， $(cos x)^{'} = - sin x$ ，写出 $sh (x)$ 与 $ch (x)$ 的导数关系式，并证明 $ch (x + y) = ch (x) ch (y) + sh (x) sh (y)$ ；

(2)、对任意 $x > 0$ ，恒有 $sh (x) > a x$ 成立，求实数a的取值范围；

(3)、求 $f (x) = ch (x) - cos x - x^{2}$ 的最小值．

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17、若 $C_{n}^{13} = C_{n}^{7}$ ，则 $C_{n}^{18} =$ .

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18、 $12$ 名同学合影，站成了前排 $4$ 人后排 $8$ 人，现摄影师要从后排 $8$ 人中抽 $2$ 人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A、 $C_{8}^{2} A_{3}^{2}$ B、 $C_{6}^{2} A_{6}^{6}$ C、 $C_{8}^{2} A_{5}^{2}$ D、 $C_{8}^{2} A_{6}^{2}$

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19、已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（）

A、极差为6 B、中位数为90 C、第70%分位数为92 D、平均数为90.25

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20、已知命题 $p : θ$ 为锐角；命题 $q : sin θ > 0$ 且 $cos θ > 0$ ；则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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