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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x + 1 (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ B、当 $a = - 3$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 D、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 内存在极值点，则 $a$ 的取值范围是 $(- 5, - 3)$

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2、已知二项展开式 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 0$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = 2^{2024}$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 2^{2025}$

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3、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(\cos x)}^{'} = - \sin x$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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4、已知 $0 < x < y < π$ ，且 $e^{y} \sin x = e^{x} \sin y$ ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $y < \frac{π}{4}$ B、 $x + y < \frac{π}{2}$ C、 $\cos x + \cos y > 0$ D、 $\sin x > \sin y$

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5、已知 $f (x) = (2 x - 3) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ 在 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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6、“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如： $y = e^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线为 $y = x + 1$ ，如图所示，易知除切点 $(0, 1)$ 外， $y = e^{x}$ 图象上其余所有的点均在 $y = x + 1$ 的上方，故有 $e^{x} \geq x + 1$ .该结论可通过构造函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ 并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（）
① $\forall x > 0, e^{x - 1} \geq \ln x + 1$ ；② $\forall a \in R, \forall x \in R, e^{x} \geq e^{a} (x - a + 1)$ ；③ $\forall x \in R, \cos x \geq 1 - \frac{1}{2} x^{2}$ ；④ $\forall x > 0,$ $x e^{x} \geq x + \ln x + 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7、深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（）种分配方式

A、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3}$ B、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6}$ C、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$ D、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$

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8、已知 $a = \frac{\ln 4}{4}, b = \frac{1}{e}, c = \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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9、下列数中，与 $A_{m}^{5}$ 不相等的是（）

A、 $A_{5}^{5} \cdot C_{m}^{2}$ B、 $\frac{A_{m}^{m}}{A_{m - 5}^{m - 5}}$ C、 $A_{m - 1}^{5} + A_{m - 1}^{4}$ D、 $\frac{m!}{(m - 5)!}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有四个极值点 B、 $(2, f (2))$ 为 $f (x)$ 的极大值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减

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11、 $(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) (c_{1} + c_{2} + c_{3}) (d_{1} + d_{2} + d_{3})$ 完全展开后的项数是（）

A、5 B、10 C、13 D、36

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列，记为 ${a_{n}^{(1)}}$ ，依此类推， ${a_{n}^{(1)}}$ 的一阶差数列称为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差数列，记为 ${a_{n}^{(2)}}$ ， ...如果一个数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶差数列 ${a_{n}^{(p)}}$ 是等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为p阶等比数列 $(p \in N^{*})$

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 {， a}_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
（i）求 $a_{1}^{(1)}$ ， $a_{2}^{(1)} ， a_{3}^{(1)}$ ·
（ii）证明： $\{a_{n}\}$ 是一阶等比数列；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 为二阶等比数列， $\{b_{n}\}$ 的前5项分别为1， $\frac{20}{9} ， \frac{37}{9} ， \frac{78}{9} ， \frac{215}{9}$ ，求 $b_{n}$

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P D ⊥ A D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面PCD；

(2)、若 $P A = 4$ ， E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．

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14、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．

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15、已知随机变量X服从正态分布 $N (100, 1 0^{2})$ ，则下列选项正确的是（）
（附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .)

A、 $E (X) = 100$ B、 $D (X) = 10$ C、 $P (X \geq 90) \approx 0.84135$ D、 $P (X \leq 120) = P (X \geq 90)$

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16、已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，实数 $m, n$ 满足不等式 $f (3 n - 2 m) + f (2 - n) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $e^{m} > 2 e^{n}$ B、 $\frac{n + 1}{m + 1} < \frac{n}{m}$ C、 $\ln m > \ln n$ D、 $m^{2022} > n^{2022}$

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17、某单位为了了解办公楼用电量 $y$ （度）与气温 $x$ （℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，当气温为 $- 4$ ℃时，预测用电量均为

A、68度 B、52度 C、12度 D、28度

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18、集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}, B = {x ∣ x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{x ∣ x \leq 3\}$

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19、“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列 $\{a_{n}\}$ 是外观数列，将第n项 $a_{n}$ 的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为 $b_{n}$ .例如：外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1时， $b_{1} = 1 ， b_{2} = 2 ， b_{3} = 1 ， b_{4} = 2 ， b_{5} = 3 ， b_{6} = 2 .$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为12的外观数列，请直接写出 $a_{2} ， a_{3}$ 以及 $b_{2} ， b_{3}$ .

(2)、设集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 999\}$ ，若外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} \in A$ .
（i）探究 $b_{n}$ 的最大值，并证明你的结论；
（ii）求所有的 $a_{1} \in A$ ，使得存在 $n_{0} \neq 1 ，$ 有 $a_{n_{0}} = a_{1} .$

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20、已知函数 $f (x) = \ln x - a (x - \frac{1}{x}), g (x) = \frac{2 \ln x}{x + 1} - x - m$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.

(2)、若函数 $g (x)$ 存在两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $x_{1} < x_{2}$
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明： $2 < x_{1} + x_{2} < 1 - m$ .

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气温（℃）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64