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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的动直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于 $A, B$ 两点，其中点 $A$ 位于第一象限.当 $|A F| = 2$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切于点 $P (1, 0)$ .

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 在抛物线 $Γ$ 上，且Γ在点 $Q$ 处的切线与直线 $l$ 平行，求 $△ Q F A$ 面积的最小值以及此时直线 $l$ 的方程.

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2、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B B_{1}$ 的中点，P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，F为棱 $A B$ 上一点，且 $A_{1}, P, M, F$ 四点共面.若 $A N ⊥ A_{1} C_{1} .$

(1)、证明：平面 $A N P ⊥$ 平面 $A_{1} P M F$ ；

(2)、设 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}} ，$ 是否存在实数λ，使得平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $P M N$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3} ？$ 若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos C = \frac{2 b + c}{2 a} .$

(1)、求 $A$ ；

(2)、已知 $O$ 为 $B C$ 的中点， $O M ⊥ A B$ 于 $M, O N ⊥ A C$ 于 $N$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 2 ，$ 求 $△ A B C$ 的面积.

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4、绝大多数比赛都采用“ $(2 n - 1)$ 局 $n$ 胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局. 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行 $2 n (n \in N_{+})$ 局，谁赢的局数大于 $n$ 局，谁就获得最终胜利. 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为 $p (0 < p < \frac{1}{2}) ，$ 乙获胜的概率均为 $(1 - p)$ . 记甲赢得整个比赛的概率为 $P_{2 n}$ . 若 $p = \frac{2}{5} ，$ 则 $P_{4} - P_{2} =$ ，若 $p = \frac{5}{12} ，$ 则当 $2 n =$ 时， $P_{2 n}$ 最大.

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5、已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = 3 \times 2^{n} - a_{n}$ 其前2025项的和为 $2^{2026}$ ，则 $a_{2 n - 1} =$ .

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \cos x - a x, x > 0 \\ b \cos x + x, x < 0 \end{matrix}$ ，为奇函数，其中 $a ， b \in R$ ，则 $a + b =$

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7、已知直线 $l ： y = k x + 2$ （其中 $- \sqrt{3} < k < \sqrt{3} ）$ 与双曲线C： $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的上支相交于 $A, B$ 两点， $M （ x_{0}, y_{0} ）$ 为线段 $A B$ 的中点.过点 $M$ 斜率为 $\pm \sqrt{3}$ 的两条直线分别与双曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点.则下列结论中正确地是（）

A、点 $M$ 的坐标满足. $y_{0}^{2} - 2 y_{0} - 3 x_{0}^{2} = 0$ B、方程 $(y - y_{0})^{2} - 3 {(x - x_{0})}^{2} = 0$ 表示的图形是直线 $M P$ 和直线 $M Q$ C、直线 $P Q$ 与直线 $l$ 始终保持平行 D、直线 $P Q$ 恒过某个定点

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (e^{x} + 1)}{x}$ ，则下列结论中正确地是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 1)$ 中心对称 C、若 $m + n = 0$ ，则 $|f (m) - f (n)| > 1$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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9、一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量 $Y_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示第 $i$ 次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（）

A、X的分布列为 $P (X = k) = C_{3}^{k} {(\frac{3}{5})}^{k} {(\frac{2}{5})}^{3 - k} ， k = 1 ， 2 ， 3$ B、X的方差 $D (X) = \frac{9}{25}$ C、 $P (Y_{2} = 1) = \frac{3}{5}$ D、 $P (Y_{1} = 1 | Y_{2} = 1) = \frac{1}{2}$

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10、三棱锥 $P - A B C$ 的所有棱长均为2 $\sqrt{3}$ ， O是 $△ A B C$ 的中心，在三棱锥 $P - A B C$ 内放置一个以直线 $P O$ 为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{27} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{27} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{81} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{81} π$

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11、已知函数 $f (x) = sin ω x cos ω x - \sqrt{3} {sin}^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 内单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 内的零点个数最多为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、对任意的 $x \in (0, \frac{1}{3}]$ ， $8^{x} \leq \frac{3}{2} + \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{9}]$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{1}{9}, 1)$ D、 $[\frac{1}{9}, 1) \cup (1, 3]$

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, | \vec{a} | = 2, | \vec{c} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、7 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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14、已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 10.3 ，$ 则b的值为（）
x
6
8
9
10
12
y
6
5
4
3
2

A、-0.6 B、-0.7 C、-0.8 D、-0.9

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15、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |3 x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(\frac{1}{3}, 2]$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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16、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R$ .
（1）若 $a = - 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用奇偶性定义证明你的结论；
（2）当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；
（3）若存在 $m > 0$ 使关于x的方程 $f (| x |) = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

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17、（1）计算 ${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} + {(3 + π)}^{0} + \lg 4 + \lg 25 - e^{\ln 3}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\frac{\sin (π - θ) + \sin (\frac{π}{2} - θ)}{\cos (- θ) + \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调 D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象

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19、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则（）

A、 $2 a + b$ 的最小值是9 B、ab的最大值是8 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是16 D、 $\frac{2}{b - 1} + \frac{4 b}{a}$ 的最小值是4

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $f (2 - 2 \cos x) < \frac{1 + \sin x}{2 \sin^{2} x} f (\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x})$ 的解集为（）

A、 ${x | 2 k π + \frac{7 π}{6} < x < 2 k π + \frac{11 π}{6}, k \in Z}$ B、 ${x | 2 k π + \frac{π}{6} < x < 2 k π + \frac{5 π}{6}, k \in Z}$ C、 ${x | 2 k π - \frac{π}{2} < x < 2 k π - \frac{π}{6}, k \in Z}$ D、 ${x | 2 k π + \frac{π}{2} < x < 2 k π + π, k \in Z}$

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