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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (x, 2 - x)$ ， $\vec{b} = (y, \frac{4}{y})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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2、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且满足 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$

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3、苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为 $2 a$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π a^{3}$ B、 $\sqrt{3} π a^{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π a^{3}$ D、 $4 \sqrt{3} π a^{3}$

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4、已知复数 $z_{1}$ 与 $z = 2 - 4 i$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{1 - i} =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

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5、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} < 5\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${0, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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6、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 2 A A_{1} = 2$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B_{1}}$ ， $\vec{A_{1} F} = μ \vec{A_{1} D}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ .若 $E F$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $λ μ$ 的最大值是.

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7、小洪从某公司购进6袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）为495，500，500，495，510，500，则这6袋白糖的平均质量为g，这6袋白糖质量的标准差为g.

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8、抛物线 $x - \frac{1}{16} y^{2} = 0$ 的焦点坐标为，准线方程为.

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9、如果函数 $y = f (x)$ 满足以下两个条件，我们就称函数 $y = f (x)$ 为 $U$ 型函数.
①对任意的 $x \in [0, 1]$ ，有 $f (x) \geq 1, f (1) = 3$ ；
②对于任意的 $x, y \in [0, 1]$ ，若 $x + y \leq 1$ ，则 $f (x + y) \geq f (x) + f (y) - 1$ .
求证：

(1)、 $y = 3^{x}$ 是 $U$ 型函数；

(2)、 $U$ 型函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为增函数；

(3)、对于 $U$ 型函数 $y = f (x)$ ，有 $f (\frac{1}{3^{n}}) \leq \frac{2}{3^{n}} + 1$ （ $n$ 为正整数）.

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10、如图的封闭图形的边缘由抛物线 $Γ$ 和垂直于拋物线对称轴的线段 $A B$ 组成.已知 $A B = 4$ ，拋物线的顶点到线段 $A B$ 所在直线的距离为 $2$ .

(1)、请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

(2)、在该封闭图形上截取一个矩形 $C D E F$ ，其中点 $C ､ D$ 在线段 $A B$ 上，点 $E ､ F$ 抛物线 $Γ$ 上.求以矩形 $C D E F$ 为侧面， $C F$ 为母线的圆柱的体积最大值；

(3)、求证：抛物线 $Γ$ 的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

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11、如图所示，正三棱锥 $A - B C D$ 的侧面是边长为2的正三角形.

(1)、求正三棱锥 $A - B C D$ 的体积 $V$ ；

(2)、设 $E ､ F ､ G$ 分别是线段 $A C ､ A D ､ B C$ 的中点.
求证：① $C D / /$ 平面 $E F G$ ；②若平面 $E F G$ 交 $B D$ 于点 $H$ ，则四边形 $E F H G$ 是正方形.

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12、已知向量 $\vec{a} = (cos \frac{3 x}{2}, sin \frac{3 x}{2}), \vec{b} = (cos \frac{x}{2}, - sin \frac{x}{2})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 及 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、记 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a} + \vec{b}|$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最小值.

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13、设函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}, x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、求不等式 $f (x) < 2 x$ 的解集.

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4, - 2, 3), \vec{A D} = (- 4, 1, 0), \vec{A P} = (- 6, 2, - 8)$ ，则该四棱锥的高为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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15、我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的 $△ A B C, C D ⊥ A B, ∠ A = 30^{\circ}, ∠ B = 45^{\circ}$ .现将 $Rt △ A C D$ 沿 $C D$ 折起，使点 $A$ 移动到点 $A^{'}$ ，使得空间四面体 $A^{'} B C D$ 恰好是一个“鳖臑”，则二面角 $A^{'} - C D - B$ 的大小为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $arctan 2$ D、 $arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉 $12 %$ 的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的 $10 %$ ，大约需要的时间为（）（参考数据： $\lg 0.88 \approx - 0.0555$ ）

A、 $14$ 小时 B、 $18$ 小时 C、 $20$ 小时 D、 $24$ 小时

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17、设 $a, b \in R$ ，则“ $a + b > 0$ ”是“ $a > 0$ 且 $b > 0$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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18、已知 $lg x_{1} ､ lg x_{2} ､ lg x_{3} ､ lg x_{4} ､ lg x_{5}$ 是从大到小连续的正整数，且 ${(lg x_{4})}^{2} < lg x_{1} \cdot lg x_{5}$ ，则 $x_{1}$ 的最小值为.

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19、记 $f (x) = x^{2} + (a^{2} + b^{2} - 1) x + a^{2} + 2 a b - b^{2}$ .若函数 $y = f (x)$ 是偶函数，则该函数图象与 $y$ 轴交点的纵坐标的最大值为.

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20、如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在 $A$ 层，小宁家位于小明家正上方的 $B$ 层，已知 $A B = a$ .小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $α$ ，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为 $β$ ，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 $d =$ .

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