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相关试卷

1、设 $(2 + i) x = 4 - y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x + y i| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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2、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 15 < 0\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, 3)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(2, 5)$

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3、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 2 ， M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的中点．

(1)、求证： $A M ⊥ B D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值．

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4、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（）

A、直线 $D P$ 与 $A A_{1}$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ B、用平面 $A_{1} D P$ 截该正方体，所得截面周长为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ C、若 $D_{1} Q //$ 平面 $A_{1} D P$ ，则 $D_{1} Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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5、设正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ a_{n} +3, a_{n} 为奇数 \end{matrix}$ $(n = 1, 2, ......)$ ．

(1)、若 $a_{5} = 1$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、记集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ，证明：若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，则 $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，求 $a_{1}$ 所有可能的取值.

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6、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 存在极值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围.

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程

(2)、若过椭圆右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，求 $| A F_{1} | + |B F_{2}|$ 的取值范围．

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8、某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记 $X$ 表示这3人中老年人的人数，求 $X$ 的分布列和期望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？

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9、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $A C C_{1} A_{1}$ 均为矩形，点D是棱 $C_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A B_{1} ∥$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ．
（Ⅰ）求直线 $A B_{1}$ 到平面 $A_{1} D C$ 的距离；
（Ⅱ）在棱 $C C_{1}$ 上是否存在点M，使得直线 $A M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，如果存在，求出 $\frac{C M}{C C_{1}}$ 的值，如果不存在，说明理由．

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10、在 $△ A B C$ 中， $a = 1$ ， $c \sin A = \sqrt{3} a \cos C$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断 $△ A B C$ 是否存在，若不存在，说明理由；若存在，求出 $△ A B C$ 的面积.条件①： $\cos A \cos C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ；条件②： $b^{2} - c^{2} = a c$ ；条件③： $a, b, c$ 成等差数列.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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11、斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（yùn）都”或“潮（qiàn）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段.有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（mào）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离高为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是.

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12、将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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13、 ${(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是.

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14、已知M为 $△ A B C$ 所在平面内的一点， $| \vec{M B} | = | \vec{M C} | = 1$ ，且 $\vec{A B} = \vec{M B} + \vec{M C}, \vec{M B} \cdot \vec{M C} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*}), S_{n}$ 为其前n项和.若 $a_{2} = 2$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、20 B、30 C、31 D、62

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16、已知直线 $l : a x + b y = 1$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ 的一条对称轴，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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17、已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sin a > \sin b$ C、 ${(\frac{1}{3})}^{a} < {(\frac{1}{3})}^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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18、已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 i}$ （其中i是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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19、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ， E是 $C D$ 的中点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求点D到平面 $P B E$ 的距离.

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0), ||M F_{1}| - |M F_{2}|| = 4$ ，动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + t$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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满意度	老年人		中年人		青年人
满意度	报团游	自助游	报团游	自助游	报团游	自助游
满意	12	1	18	4	15	6
一般	2	1	6	4	4	12
不满意	1	1	6	2	3	2