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相关试卷

1、树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 $80 %$ ．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组 $[15, 25)$ ，第2组 $[25, 35)$ ，第3组 $[35, 45)$ ，第4组 $[45, 55)$ ，第5组 $[55, 65)$ ，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)、求出 $a$ 的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.

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2、如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为 $1$ ，高为 $2$ ，点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点（点 $M$ 与 $C$ 、 $C_{1}$ 均不重合）.

(1)、当点 $M$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点时，求证：直线 $A M ⊥$ 平面 $B_{1} M D_{1}$ ；

(2)、当 $D_{1} M ⊥ A B_{1}$ 时，求点 $D_{1}$ 到平面 $A M B_{1}$ 的距离.

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3、已知 $f (x) = x^{2} - a |x| + \frac{1}{x^{2} + 1} + a - 1$ ，且函数 $y = f (x)$ 有且仅有一个零点.若方程 $f (x) = k$ 无解，则实数 $k$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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4、投掷一枚均匀的骰子，若事件 $A$ 表示“掷出 $3$ 的倍数”，事件 $B$ 表示“掷出偶数”，事件 $C$ 表示“掷出合数”，则与事件 $A$ 独立的事件是（）.

A、是 $B$ 和 $C$ B、只有 $B$ C、只有 $C$ D、不存在

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5、设 $m \in R$ ，若幂函数 $y = x^{m^{2} - 2 m + 3}$ 的定义域为 $R$ ，且其图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的值可以是（）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6、已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 1$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 ${\vec{b}}^{2} - 2 \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值是.

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7、已知一个棱长为 $a$ 的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为 $4 \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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8、若点 $A$ 、 $B$ 为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于 $A$ 、 $B$ 的点 $P$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为点 $Q$ ，若 $\frac{{|P Q|}^{2}}{|A Q| \cdot |B Q|} = \frac{1}{3}$ ，则该椭圆的离心率为.

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9、若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是.

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10、函数 $f (x) = |x - 1| + |x - 2| (x \in R)$ 的最小值是.

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11、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ，则 $a_{6} =$

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12、若 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中第 $7$ 项是常数项，则 $n =$ .

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13、已知 $tan α = - \frac{4}{5}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{4}) =$ .

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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15、若复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{\bar{z} + 1}{z} =$ .

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16、不等式 $\frac{x + 3}{x} < 0$ 的解集是.

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17、全集 $U = R$ ，若集合 $A = \{x ||x| < 1\}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ．

(1)、取线段PA中点M，连接BM，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的余弦值；

(3)、线段PC上是否存在点E，使得平面 $A D E ⊥$ 平面 $P C D$ ，若存在，求出 $\frac{P E}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19、分别根据下列条件，求圆的方程：

(1)、过点 $A (0, 4)$ ， $B (4, 6)$ ，且圆心在直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 上；

(2)、过 $A (3, 2)$ 、 $B (1, 1)$ 、 $C (2, - 1)$ 三点．

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20、某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数和 $60 %$ 分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.

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