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相关试卷

1、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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2、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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3、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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5、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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6、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是偶函数， $m =$ .

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7、已知函数 $y = \frac{1}{2^{x}}$ ， $x \in [2, 4]$ ，则此函数的值域为

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8、若函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $g (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ （其中e为常数， $e \approx 2.718$ ）.函数 $F (x) = f (2 x) - 2 m f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ B、 $g (x)$ 是增函数 C、 $m = 2$ D、 $m = \pm 2$

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9、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[1, + \infty)$ B、若 $p : \exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p : \forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 1)$ D、已知函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$

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10、设 $a = \log_{6} 3$ ， $b = \log_{6} 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $\log_{3} 2 = \frac{b}{a}$ C、 $\log_{6} \frac{1}{9} = - 2 a$ D、 $\log_{6} 24 = 1 - 2 b$

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11、已知函数 $y = f (x)$ 在R上是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则不等式 $x [f (x) - 2 f (- x)] < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1) \cup (3, + \infty)$

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12、若直线 $y = 3 a$ 与函数 $y = |a^{x} - 1|$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} < a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{3}$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$

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13、下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{3} + x$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = \frac{3 x - 2}{x + 1}$

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14、若 $a = \log_{3} 3^{- 1}$ ， $b = 2^{1.1}$ ， $c = {0.8}^{3.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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15、函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{a} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、设集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |3 - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{2, 3\}$

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17、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与半椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (x \leq 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是半椭圆 $C_{2}$ 上一动点.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $C, D$ ，记 $C D$ 的中点为 $E$ .
（i）证明 $P E ⊥ y$ 轴；
（ii）求 $△ P C D$ 面积的取值范围.

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18、某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性.

(1)、从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少?

(2)、如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取 $ζ$ 份才可以找出所有漏诊卷，写出 $ζ$ 的分布列并计算 $E (ζ)$ .

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A P ⊥ C P$ ， $A P = C P = 2$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $A P ⊥$ 平面 $B C P$ ；

(2)、已知平面 $α$ 经过直线 $P C$ ，且 $A B / / α$ ，直线 $P D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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20、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ ，设 $g (x) = f^{'} (x)$ .

(1)、求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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