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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{2} + {(a - 1)}^{2}$ ， $g (x) = |x + a - 1|$ ， $h (x) = |x - 1| + |x - 4|$ .

(1)、若 $F (x) = f (x) + g (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x_{1} \in R$ ，都存在 $x_{2} \in R$ 使得 $h (x_{2}) \leq f (x_{1}) - g (x_{1})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x |\frac{x - a - 2}{x - a} \leq 0\}$

(1)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $5 \in B$ ， $4 \notin B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢²）．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 和其所对弦 $A B$ 围成的图形，若弧田的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 长为 $\frac{8 π}{3}$ ，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若函数 $g (x) = f (x) - x^{2}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，则不等式 $f (3 x - 1) - f (2) > (3 x - 3) (3 x + 1)$ 的解集为．

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5、 ${0.0081}^{- \frac{1}{4}} - {[3 \times {(\frac{7}{8})}^{0}]}^{- 1} \times [81^{- 0.25} + {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{1}{3}}] =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \sin \frac{ω x}{2} \cos \frac{ω x}{2} + \cos^{2} \frac{ω x}{2} - \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有 $4$ 条对称轴；则（）

A、 $ω \in [\frac{13}{4}, \frac{17}{4})$ B、 $π$ 可能是 $f (x)$ 的最小正周期 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{16}, \frac{π}{16})$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上可能有 $3$ 个或 $4$ 个零点

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7、已知 $3 sin (2 α - β) = sin β$ ，且 $α - β \neq \frac{π}{2} + k π$ ， $α \neq \frac{k π}{2}$ ， $k \in Z$ ，则 $\frac{tan (α - β)}{tan α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8、若对任意 $x \in R, a |x - b| + |x - 3| \geq |3 x - 1| (a \in R, b \in R)$ 成立，则（）

A、 $a \leq 2, b \geq - 1$ B、 $a \leq 2, b \leq - 1$ C、 $a \geq 2, b \geq - 1$ D、 $a \geq 2, b \leq - 1$

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9、已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，满足 $a + 2 b = 4$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{2}{b + 2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10、集合 $A = \{\begin{matrix} - 2, - 1, 0, 1, 2 \end{matrix}\}, B = \{\begin{matrix} x | | x - 2 ∣ \leq 1 \end{matrix}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{\begin{matrix} - 1, 0, 1 \end{matrix}\}$ B、 $\{\begin{matrix} 0, 1, 2 \end{matrix}\}$ C、 $\{\begin{matrix} 0, 1 \end{matrix}\}$ D、 $\{\begin{matrix} 1, 2 \end{matrix}\}$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $P A = 3$ ， M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）．

(1)、证明： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、若N为棱 $P C$ 的中点，且二面角 $A - M N - B$ 的正切值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $A M$ ；

(3)、设点Q是边 $C D$ 上的点（含端点），求 $2 M N + N Q$ 的最小值．

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12、某学校举办了数学知识竞赛活动，现从所有竞赛答卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（ $40 \leq x \leq 100$ ）的整数分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ……， $[90, 100]$ ，并作出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、规定 $x \in [60, 80)$ 为及格，用样本估计总体，随机从所有竞赛答卷抽取3份试卷，求3份试卷中至少有2份及格的概率；

(3)、已知样本数据落在 $[50, 60)$ 的平均数是54，方差是6；落在 $[60, 70)$ 的平均数是63，方差是3.求这两组数据的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ .
注：第一部分有m个数，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，第二部分有n个数，平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $t^{2}$ ，记样本均值为 $\bar{a}$ ，样本方差为 $b^{2}$ ，则 $\bar{a} = \frac{m \bar{x} + n \bar{y}}{m + n}$ ， $b^{2} = \frac{m [s^{2} + {(\bar{x} - \bar{a})}^{2}] + n [t^{2} + {(\bar{y} - \bar{a})}^{2}]}{m + n}$ .

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13、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D$ 垂直于底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $S C$ 的中点， $S D = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 中点．

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $A B = S D = 2$ ，求直线 $E O$ 与平面 $B C D$ 所成的角．

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14、已知向量 $\vec{m} = (sin x, cos x)$ ， $\vec{n} = (cos x, - \sqrt{3} cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(3)、若 $g (x) = f (ω x) + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ ，求实数 $ω$ 的取值范围.

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15、某次期中考试10位同学的数学成绩数据如下： $57, 57, 65, 70, 78, 80, 87, 89, 90, 92$ .则这组数据的第75百分位数为.

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16、设 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 表示三个不同的平面， $m$ 、 $n$ 表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（）

A、若 $m / / α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ， $m ⊄ α$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = m$ ，则 $m ⊥ γ$

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17、已知球 $O$ 是正三棱锥 $P - A B C$ 的外接球， $△ A B C$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形， $P C = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $A B$ 边上的一点，且 $P E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$ .若过点 $E$ 的球 $O$ 的截面面积为 $\frac{13 π}{16}$ ，则 $O E$ 与该截面所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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18、在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b$ ，且 $\sin C = 2 \sin A \cos B$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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19、已知 $\cos (α + \frac{π}{3}) + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{15}{16}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、 $- \frac{7}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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20、复数 $z = \frac{4 - 3 i}{1 + 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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