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相关试卷

1、函数 $f (x) = - ln x + x$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $I$ ，设 $x_{0} \in I$ ，曲线在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{1}, 0)$ ，当 $n \geq 1$ 时，设曲线在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(x_{n + 1}, 0)$ ，依次类推，称得到的数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $y = f (x)$ 关于 $x_{0}$ 的“ $N$ 数列”，已知 $f (x) = 2 x - ln (x + 1)$ .

(1)、求证： $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点；

(2)、若 $g (x) = f^{'} (x), \{a_{n}\}$ 是函数 $y = g (x)$ 关于 $a_{0} = - \frac{3}{4}$ 的“ $N$ 数列”，记 $b_{n} = {log}_{2} |2 a_{n} + 1|$ .
①证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；
②记 $c_{n} = \sqrt{\frac{n - 1}{(n + 1) \log_{2} (- b_{n})}}$ ，（ $n \in N^{*}$ ），证明： $c_{1} + c_{2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} < 2 \sqrt{n}$ .

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3、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{3})$ ，直线 $l_{1} : y = k x + m (m > 0)$ 与圆 $C_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切且与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过原点 $O$ 作 $l_{1}$ 的平行线 $l_{2}$ 交椭圆于 $C, D$ 两点，若 $|A B| = λ |C D|$ ，求 $λ$ 的最小值．

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4、如图，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}, A B$ $∥$ $C D, A B = 2, B C = 2, C D = 4$ ，点 $A$ 在平面 $P C D$ 内的射影恰好是 $△ P C D$ 的重心 $G$ .

(1)、证明： $B C$ $∥$ 平面 $P A G$ ；

(2)、求直线 $D G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + a_{n + 1}\}$ 是等比数列；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2 n}$ ．

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6、已知函数 $f (x) = ln x - a \cdot \frac{x - 1}{x + 1}$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $y = 3$ 平行，其中 $a$ 为常数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x^{2} - 1) < f (5 x - 7)$ 的解集．

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7、已知 $f (x) = \ln x - a x$ ， $g (x) = e^{x} - a x$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, + \infty)$ ，都存在 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) g (x_{2}) = x_{1} x_{2}$ ，则实数a的取值范围为.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{11} = 216$ ，则 $a_{5} =$ ．

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9、如果一个人爬台阶的方式只有两种，在台阶底部（第0级）从下往上走，一次上一级台阶或一次上两级台阶，设爬上 $n$ 级台阶的方法数为 $a_{n}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若用7步走完了10级台阶，则不同的走法有35种． B、 $\sum_{i = 1}^{10} a_{i} = 231$ C、 $a_{2025}$ 是偶数 D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024}^{2} = a_{2024} a_{2025} - 1$

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10、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 上的动点，则（）

A、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 B、 $\vec{A A_{1}}$ 在 $\vec{A C_{1}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{3} \vec{A C_{1}}$ C、点 $B$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、若直线 $D_{1} P$ 与直线 $A B$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : (m - 1) x^{2} + (3 - m) y^{2} = 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $3 > m > 1$ ，则 $C$ 是椭圆 B、若 $2 > m > 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴的椭圆 C、若 $m < 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $y$ 轴的双曲线 D、若 $m = 3$ ，则 $C$ 是直线 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知 $Q$ 是椭圆 $M : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 上的动点：若动点 $Q$ 到定点 $P (2, 0)$ 的距离 $|P Q|$ 的最小值为1，则椭圆 $M$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1)$

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13、2025年这个寒假，国产AI助手DeepSeek在全球掀起一场科技风暴．DeepSeek在训练模型时会用到对数似然函数来优化参数.假设某模型的对数似然函数为 $L (w) = \sum_{i = 1}^{n} ln (w x_{i} + 1)$ ，其中 $w$ 是模型参数， $x_{i}$ 是输入特征，为了最大化 $L (w)$ ，我们需要求解以下哪个方程（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{w x_{i} + 1} = n$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{w x_{i} + 1} = 0$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{w}{w x_{i} + 1} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{w}{w x_{i} + 1} = n$

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14、三个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 则“ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面”是“ $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）

A、6 B、7 C、15 D、90

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16、如果函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为1，那么 $\lim_{x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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17、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、内含 B、内切 C、外离 D、相交

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18、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的焦距为6，则 $m$ 为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、32

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ ： $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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20、角谷猜想，也称为“ $3 n + 1$ ”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以 $2$ ；如果是奇数，则将它乘以 $3$ 再加上 $1$ ，如此反复运算，该数最终将变为 $1$ ；这就是对一个正整数运算时“万数归 $1$ ”现象的猜想，假如对任意正整数 $a_{0} (a_{0} \geq 2)$ ，按照上述规则实施第 $1$ 次运算后的结果记 $a_{1}$ ，实施第2次运算后的结果记为 $a_{2}$ ， …实施第 $n - 1$ 次运算后的结果记为 $a_{n - 1}$ ，实施第 $n$ 次运算后得到数 $1$ ，则停止运算，即可以得到有穷数 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2} \dots a_{n - 1}, 1$ （其中 $a_{i} \neq 1, i = 1, 2 \dots, n - 1$ ）其递推关系式为 $a_{k + 1} = \{\begin{cases} 3 a_{k} + 1, a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2}, a_{k} 为偶数 \end{cases} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ ， $a_{0}$ 称作数列 $\{a_{n}\}$ 的原始项；将此递推公式推广为： $a_{k + 1} = \{\begin{cases} λ a_{k} + 1, a_{k} 为奇数 \\ \frac{a_{k}}{2}, a_{k} 为偶数 \end{cases} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1, λ \in N^{*})$ ，其它规则不变，得到的数列记作 $\{λ ~ a_{n}\}$ ，试解答以下问题：

(1)、若 $a_{0} = 6$ ，求数列 $\{3 ~ a_{n}\}$ 的项数；

(2)、若数列 $\{3 ~ a_{n}\}$ 满足 $a_{6} = 1$ ，求原始项 $a_{0}$ 的所有可能取值构成的集合；

(3)、对任意的数列 $\{1 ~ a_{n}\}$ ，求证： $n \leq 2 \log_{2} a_{1} + 2$ ．

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