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相关试卷

1、如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 边上一点，满足 $A D = 1, D E / / O C$ ．将 $△ A D E, △ B O C$ 分别沿着 $D E, O C$ 翻折成 $△ A^{'} D E, △ B^{'} O C$ ，满足 $A^{'}, B^{'}$ 在平面 $C O D E$ 的同一侧， $A^{'} D ⊥$ 面 $C O D E, B^{'} O ⊥$ 面 $C O D E$ ．

(1)、证明： $A^{'}, B^{'}, C, E$ 共面；

(2)、在线段 $B^{'} C$ 上是否存在一点 $F$ （异于端点），满足 $E F / /$ 平面 $A^{'} D O B^{'}$ ？若存在，求出点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）的情况下，求直线 $C E$ 与平面 $O D F$ 所成角的正弦值．

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2、已知等轴双曲线 $C$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，经过点 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的渐近线相交于点 $M, N$ ，点 $M$ 的横坐标为 $- 1$ ， $N$ 是线段 $F_{2} M$ 的中点，经过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、当 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$ 时，求 $l$ 的方程．

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3、为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了 $400$ 名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
数学成绩
语文成绩
不优秀
优秀
不优秀
$180$
$90$
优秀
$50$
$80$

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有 $X$ 位学生的语文成绩优秀，求随机变量 $X$ 的分布列以及数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$k$
$3.841$
$6.635$
$10.828$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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4、有 $6$ 张卡片，正面分别写有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ，且背面均写有数字 $7$ ．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第 $k$ 个位置上的卡片恰好写有数字 $k$ ．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为 $n$ ，则将第 $n$ 个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验 $3$ 次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为 $2$ 的概率为．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ 在 $x = a$ 处取得极大值，在 $x = b$ 处取得极小值，若 $f (x)$ 在 $[0, m]$ 上的最大值为 $a + b$ ，则 $m$ 的最大值为．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点与右顶点分别为 $A, B$ ，若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{5}{6} π$ ，则 $C$ 的离心率为．

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7、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 与正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 首项相等，且满足 $a_{1} + b_{1} = a_{2}$ ， $a_{2} + b_{2} = b_{3}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $2$ B、 $\exists m \geq 3$ ，使得 $a_{m} = b_{m}$ C、对 $\forall λ < 1$ ，数列 $\{b_{n} - λ a_{n}\}$ 为递增数列 D、 $\sum_{k = 1}^{10} \frac{b_{k}}{a_{k}} < 150$

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8、已知函数 $f (x) = sin (\frac{π}{4} + x)$ ， $g (x) = 2 f (x) f (- x) f (x + \frac{π}{4})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $g (x)$ 是偶函数 C、 $g (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{6}}{9}, 1]$

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9、设 ${(1 + 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{3} = 20$ C、该二项式的所有二项式系数之和为64 D、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 729$

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10、在 $△ A B C$ 中，“ ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = sin (A + B)$ ”是“ $C$ 为直角”的（）

A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件 C、充要条件 D、既非充分条件也非必要条件

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11、设抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，若 $|A F| + |B F| = 7$ ，则 $cos ∠ A F B$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$

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12、已知两条相交直线 $a, b$ ， $a$ 在平面 $α$ 内， $b$ 在平面 $α$ 外．设 $a, b$ 的夹角为 $θ_{1}$ ，直线 $b$ 与平面 $α$ 所成角为 $\frac{π}{2} - θ_{1}$ ， $sin θ_{1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．则由 $a, b$ 确定的平面与平面 $α$ 夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x e^{x}, x \leq 0 \\ l n x - x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、1 D、e

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14、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则 $|z|$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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15、已知向量 $\vec{a} = (2 x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} < 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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17、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_{n}$ 恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ 的值；

(2)、求 $p_{n}$ 的值（用 $n$ 表示）；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ .

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18、随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：

年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30

45
不是微短剧消费者

合计
100

200

(1)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？

(2)、记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = 132.71 x - 192.85$ ，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ， $x_{0.05} = 3.841$ .
$\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 442.03$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ . $\sqrt{10} = 3.16$ .
若 $|r| \geq 0.75$ ，则认为经验回归方程有价值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，

(1)、在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率；

(2)、求第二次取到2号球的概率；

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20、已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中的所有系数之和为729．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{3}$ 的系数．

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数学成绩	语文成绩
数学成绩	不优秀	优秀
不优秀	$180$	$90$
优秀	$50$	$80$

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

	年龄不超过40岁	年龄超过40岁	合计
是微短剧消费者	30		45
不是微短剧消费者
合计	100		200

年份代码x	1	2	3	4	5
市场规模y	9.4	36.8	101.7	373.9	m

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828