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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ．若 $a + c \cos A = b + c \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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2、若 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3、随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是（）

A、110 B、115 C、120 D、125

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4、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (\frac{7 π}{2} - α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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5、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}, N = \{- 2, 0, 1\}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \{0\}$ B、 $M \cup N = M$ C、 $\{0\} \subseteq M \cap N$ D、 $M \cup N \subseteq \{0, 1\}$

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6、已知 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $y = f (x), x \in [0, π]$ 的单调递减区间；

(3)、若 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 时，函数 $y = f (x) + m$ 有两个零点 $x_{1} ､ x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, A B = 1$ ， $A A_{1} = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：直线 $B D_{1} / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成的角；

(3)、求二面角 $B_{1} - A C - P$ 的余弦值.

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .满足 $(2 a - c) cos B = b cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、设 $a = 4, b = 2 \sqrt{7}$ .
（i）求 $c$ 的值；
（ii）求 $sin 2 C$ 的值.

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A P B = 90 °$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = P B$ ，求点 $D$ 到平面 $P A C$ 的距离．

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10、已知 $f (α) = \frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (2 π - α) \tan (- α - π) \sin (- α - π)}$ .
（1）化简 $f (α)$ ；
（2）若 $α$ 是第三象限角，且 $\cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (α)$ .

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11、如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 2, A B = 4$ .若该四棱台的体积为 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ ，则该四棱台的高为；外接球的表面积为.

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12、已知复数 $z = \frac{1}{1 - i} - i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为.

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13、已知扇形圆心角 $α = 60^{\circ}, α$ 所对的弧长 $l = 6 π$ ，则该扇形面积为.

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ B、若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则它的面积等于 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ C、已知点 $A (2, 0), B (- 1, \sqrt{3}), O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $\sqrt{12 + 8 \sqrt{3}}$

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15、下列命题正确的是（）

A、复数 $z = - 3 + 2 i$ 的共轭复数是 $\bar{z} = 3 - 2 i$ B、复数 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a = - 2$ C、复数 $z = m + 1 + (m^{2} - 1) i (m \in R)$ 所对应的点在第二象限，则 $m < - 1$ D、已知 $z_{1} = 3 - 4 i, z_{2} = 3 + 4 i$ ，则 $z_{1} z_{2} = 25$

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16、下列说法中不正确的是（）

A、底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B、有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C、棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D、圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

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17、一个圆台的上､下底面的半径分别为1和4，高为4，则它的表面积为（）

A、 $41 π$ B、 $42 π$ C、 $29 \sqrt{3} π$ D、 $(18 + 7 \sqrt{3}) π$

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18、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，且 $\vec{B E} = 3 \vec{E D}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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19、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} B^{'} A^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = \sqrt{5}$ ，则原图形的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{5}$ C、 $10 \sqrt{5}$ D、 $10 \sqrt{2}$

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