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相关试卷

1、冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 从左往右，依次对相邻两个元素 $\{x_{k}, x_{k + 1}\} (k = 1, 2, \dots, n - 1)$ 比较大小，若 $x_{k} > x_{k + 1}$ ，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列 $\{2, 1, 4, 3\}$ 进行冒泡排序，首先比较 $\{2, 1\}$ ，需要交换1次位置，得到新序列 $\{1, 2, 4, 3\}$ ，然后比较 $\{2, 4\}$ ，无需交换位置，最后比较 $\{4, 3\}$ ，又需要交换1次位置，得到新序列 $\{1, 2, 3, 4\}$ 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 $\{1, 4, 2, 3\}$ 需要依次交换 $\{4, 2\}, \{4, 3\}$ 完成冒泡排序.因此， $\{2, 1, 4, 3\}$ 和 $\{1, 4, 2, 3\}$ 均是交换2次的序列.现在对任一个包含 $n$ 个不等实数的序列进行冒泡排序 $(n \geq 3)$ ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 $a_{n}$ ，只需要交换1次的序列个数为 $b_{n}$ ，只需要交换2次的序列个数为 $c_{n}$ ，则（）

A、序列 $\{2, 7, 1, 8\}$ 是需要交换3次的序列 B、 $a_{n} = \frac{n (n - 1)}{2}$ C、 $b_{n} = n - 1$ D、 $c_{5} = 9$

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2、一个与自然数 $n$ 有关的命题，如果：
①当 $n = n_{0}$ 时，命题成立；
②在假设“当 $n = k (k \geq n_{0})$ 时，命题成立”的前提下，能够推出“当 $n = k + 1$ 时，合题成立”．
那么，命题对于任何不小于 $n_{0}$ 的自然数 $n$ 成立．
上述方法，称为“数学归纳法”．
例如，利用“数学归纳法”证明：平面内的 $n$ 个圆将平面至多分为 $n^{2} - n + 2$ 个区域，其中 $n \in N^{*}$ ．
注意1个圆将平面分为2个区域．当 $n = 1$ 时， $n^{2} - n + 2 = 2$ ．
所以，当 $n = 1$ 时，命题成立．
假设当 $n = k (k \geq 1)$ 时，命题成立，即平面内的 $k$ 个圆将平面至多分为 $k^{2} - k + 2$ 个区域．
在此基础上，增加1个圆．
为使区域最多，应使增加的圆与前 $k$ 个圆均相交，于是增加了 $2 k$ 个交点， $2 k$ 个交点将增加的圆分为 $2 k$ 段弧， $2 k$ 段弧分别将其经过的区域分为2个区域，于是增加了 $2 k$ 个区域．
从而，平面内的 $k + 1$ 个圆将平面至多分为 $(k^{2} - k + 2) + 2 k = k^{2} + k + 2$ 个区域．
当 $n = k + 1$ 时， $n^{2} - n + 2 = {(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 2 = k^{2} + k + 2$ ．
所以，当 $n = k + 1$ 时，合题成立．
综上，命题对于任何 $n \in N^{*}$ 成立．
利用“数学归纳法”证明：

(1)、 $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(2)、 $2^{n} > n^{2}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 5$ ．

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3、已知一个等腰直角三角形 $△ D E F$ 的三个顶点分别在另一个等腰直角三角形 $△ A B C$ 的三条不同的边上．

(1)、如图，若 $△ D E F$ 的直角顶点在 $△ A B C$ 的斜边上，求 $△ D E F$ ， $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

(2)、如图，若 $△ D E F$ 的直角顶点在 $△ A B C$ 的直角边上．求 $△ D E F$ ， $△ A B C$ 的面积之比的最小值．

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4、（1）观察： $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ 、 $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ 、 $\frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}$ 、……叙述其中的一般规律，并加以证明．
（2）求证：对于任何 $n \in N^{*}$ 、 $n \geq 3$ ，存在 $m$ ， $k \in N^{*}$ ，使得 $\frac{1}{n} = \frac{1}{m (m + 1)} + \frac{1}{(m + 1) (m + 2)} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{(m + k) (m + k + 1)}$ ．

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5、求下列关于 $x$ 的不等式的解集：

(1)、 $| x - 1 | \geq \frac{2}{x}$

(2)、 $\sqrt{x + 1} < \sqrt{2} x$

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6、已知函数 $y = k x + 2$ 、 $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ 的图象恰有三个交点，交点坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ .则下列判断：
① $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} = - 1$ ② $x_{1} x_{2} x_{3} = 1$
③ $\frac{x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3}}{3} > 1$ ④ $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}$
其中正确的是.

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7、函数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的最大值为．

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8、已知集合 $A = \{x^{2}, y^{2}\}$ 、 $B = {4 x + 21, 4 y + 21}$ ．若 $A = B$ ，则 $x + y =$ ．

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9、已知集合 $A = [a, + \infty)$ 、 $B = [3, + \infty)$ ．若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，则 $a$ 的取值范围为．

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10、已知圆内接四边形的四个顶点将圆周分为长是 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{2}$ ， $π$ 的四段圆弧．则这个四边形的面积为．

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11、已知 $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$ ．若 $\sin (θ - 45 °) = \frac{1}{5 \sqrt{2}}$ ，则 $\tan θ =$ ．

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12、已知命题 $p :$ 关于 $x$ 的不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} < 0$ 与 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} < 0$ 的解集相同，命题 $q$ ： $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ，则 $p$ 是 $q$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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13、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 2 ∠ B$ ， $A C = 1$ ，则 $B C =$ （）．

A、2 B、 $2 cos B$ C、 $\frac{1}{2 cos B}$ D、 $\frac{2}{cos B}$

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14、在 $△ A B C$ 中，顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，则 $△ A B C$ 的内角大小可能为（）．
① $30 °, 60 °, 90 °$ ② $60 °, 60 °, 60 °$ ③ $45 °, 45 °, 90 °$ ④ $30 °, 30 °, 120 °$

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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15、函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 的图象关于（）作对称，再向（）平移1个单位，得到函数 $y = x^{2} + 2 x - 5$ 的图象．（）

A、 $x$ 轴、上 B、 $y$ 轴、下 C、 $x$ 轴、左 D、 $y$ 轴、右

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16、已知关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x y = k \\ x - k y = 1 \end{array}$ 对于方程组的实数解，下列判断中正确的是（）．

A、恰有一组实数解 B、恰有两组实数解 C、没有实数解 D、条件不足无法判断

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17、已知关于 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的方程组 $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = c_{1} \\ x_{2} + x_{3} + x_{4} = c_{2} \\ x_{3} + x_{4} + x_{1} = c_{3} \\ x_{4} + x_{1} + x_{2} = c_{4} \end{cases}$ ，其中 $c_{1} < c_{2} < c_{3} < c_{4}$ ．则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的大小关系为（）．

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ B、 $x_{4} < x_{1} < x_{2} < x_{3}$ C、 $x_{4} < x_{3} < x_{2} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1} < x_{4}$

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18、已知 $a > b$ 、 $b c d < 0$ 、 $a b c d > 0$ ，则下列选项可能成立的是（）

A、 $a <0$ 、 $b > 0$ 、 $c < 0$ 、 $d > 0$ B、 $a > 0$ 、 $b < 0$ 、 $c > 0$ 、 $d < 0$ C、 $a <0$ 、 $b < 0$ 、 $c > 0$ 、 $d > 0$ D、 $a > 0$ 、 $b > 0$ 、 $c < 0$ ， $d < 0$

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19、已知集合 $A = {x, 0}$ 、 $B = {y, 0, 1}$ ，其中 $x, y \in {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，且 $A \subseteq B$ ．满足以上条件的全部有序数对 $(x, y)$ 的个数为（）．

A、6 B、8 C、20 D、36

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20、如果无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足“对任意正整数 $i, j (i \neq j)$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k} = a_{i} \cdot a_{j}$ ”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$ ”.

(1)、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且公比 $q > 1, S_{2} = 12, S_{4} = 120$ ，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 具有“性质 $P$ ”；

(2)、若等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项 $b_{1} = 1$ ，公差 $d \in Z$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 具有“性质 $P$ ”，当且仅当 $d \in N$ ；

(3)、如果各项均为正整数的无穷等比数列 $\{c_{n}\}$ 具有“性质 $P$ ”，且 $2^{13}, 5^{12}, 4^{15}, 10^{12}$ 四个数中恰有两个出现在数列 $\{c_{n}\}$ 中，求 $c_{1}$ 的所有可能取值之和.

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