江苏省苏州市2024-2025学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试卷

试卷更新日期：2025-06-29 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
2. 命题 $p : \forall x \in R, x + |x| \geq 0$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x + |x| < 0$ B、 $\forall x \in R, x + |x| < 0$ C、 $\exists x \in R, x + |x| \leq 0$ D、 $\exists x \notin R, x + |x| < 0$

查看试题解析
3. “ $α > 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

-3.0

可得到的回归方程为 $\overset{\land}{y} = b x + a$ ，则（）

A、 $a > 0 ， b < 0$ B、 $a > 0 ， b > 0$ C、 $a < 0 ， b < 0$ D、 $a < 0 ， b > 0$

查看试题解析
5. 从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）

A、48 B、60 C、72 D、100

查看试题解析
6. 已知 $a > 0, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 b}{a b + 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

查看试题解析
7. 满足 $a^{x} = b^{y} = c^{z}$ ， $\frac{1}{x} - \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 0 (x, y, z \in R)$ 的有序实数组 $(a, b, c)$ 可以是（）

A、 $(4, 3, 2)$ B、 $(4, 2, 3)$ C、 $(3, 9, 2)$ D、 $(18, 12, 2)$

查看试题解析
8. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（）

A、 $1 - α + β$ B、 $1 + α - β$ C、 $\frac{1}{2} (1 - α + β)$ D、 $\frac{1}{2} (1 + α - β)$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a + b > a b$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > {log}_{2} b - {log}_{2} a$ D、 $\sqrt{1 + a^{2}} - \sqrt{1 + b^{2}} < a - b$

查看试题解析
10. 设函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (3) > f (5)$ B、 $f (e^{a} + 4) < f (\frac{4 e^{a} + 2}{e^{a} + 1})$ C、 $f (x) - f (\frac{e^{2}}{x}) \geq 0$ D、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) \leq 0$

查看试题解析
11. 设随机变量 $X \sim N (0, 1), f (x) = P (X \leq x)$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $2 f (2) > f (1) + f (3)$ C、 $P (|X| \leq x) = 1 - 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 $C_{14}^{m} = C_{14}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为．

查看试题解析
13. 函数 $f (x) = x^{3} - |3 x - 2|$ 的零点个数为．

查看试题解析
14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 $X$ ，则 $D (X) =$ ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“ $X = 2$ ”的概率是．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - \frac{2}{x})}^{8}, x < 0, \\ - \sqrt{x}, x \geq 0. \end{array}$

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 表达式的展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数；

(2)、当 $x > 0$ 时，求 $f (f (x))$ 表达式的展开式中的常数项．

查看试题解析
16. 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表：
未患病
患病
未服用
100
90
服用
150
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效？

(2)、现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物 $A$ 采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物 $A$ 的只数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = ln (1 - \frac{3}{x})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $f (x) = f (- e^{x + 1})$ ；

(3)、若函数 $g (x) = (2 x - a) f (x)$ 的图象关于直线 $x = b$ 对称，求实数 $a, b$ 的值．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x} - b x$ ．

(1)、当 $a = 2, b = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，若 $x > 0, f (x) > 0$ ，求实数 $b$ 的最大值．

查看试题解析
19. 信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ ，且 $P (X = i) = p_{1} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，称 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \ln p_{i}$ 为 $X$ 的信息熵，用来刻画随机变量 $X$ 蕴含的信息量的大小．

(1)、抛掷一枚质地均匀的警子（一种各个面上分别标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 个点的正方体玩具），记出现向上的点数为 $X$ ，求 $H (X)$ 的值；

(2)、若 $n = 2$ ，求 $H (X)$ 的最大值；

(3)、求证； $H (X) \leq ln n$ ．

查看试题解析

x	3	4	5	6	7	8
y	4.0	2.5	-0.5	0.5	-2.0	-3.0

	未患病	患病
未服用	100	90
服用	150	60

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828