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相关试卷

1、已知集合 $A = \{- 4, - 3, - 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 2, 3\}$ ，若 $a, b, c \in A$ 且互不相等，则使得指数函数 $y = a^{x}$ ，对数函数 $y = {log}_{b} x$ ，幂函数 $y = x^{c}$ 中至少有两个函数在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的有序数对 $(a, b, c)$ 的个数是（）

A、36 B、42 C、72 D、84

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2、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x^{2}) - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(0, \frac{2}{3})$

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3、已知函数 $g (x) = 1 - 2 ln x - \frac{a}{x^{2}} (a > 0)$ ，且 $g (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ .

(1)、求 $x_{0}$ ；

(2)、证明： $2 g (x_{0}) + 2 \leq \frac{2}{a}$ ；

(3)、若函数 $g (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} > 2 g (x_{0}) + 2$ .

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4、已知 $3^{a} = 11, 4^{b} = 18, 5^{c} = 27$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > b > c$

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5、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线方程为 $3 x + y = 0$ ，则 $a - b =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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6、函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 3 \sin x$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上的值域为（）

A、 $[3, 4]$ B、 $[3, \frac{25}{8}]$ C、 $[3, \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 1]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{2} + 1, \frac{25}{8}]$

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7、设 $a = {log}_{0.6} 0.8$ ， $b = {1.1}^{0.8}$ ， $c = {log}_{1.1} 0.8$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8、为了得到函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需要把函数 $y = sin x$ 图象（）

A、先将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、先将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位 C、先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D、先向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）

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9、已知集合 $M = {x | - 3 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{x |- 1 \leq x < 1\}$ B、 $\{x |x > - 3\}$ C、 $\{x | - 3 < x < 4\}$ D、 $\{x |x < 4\}$

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10、如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间t（单位：s），则d与t之间的关系为 $d = A \sin (ω t + φ) + K$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）．

(1)、求A，ω，φ，K的值；

(2)、在筒车转动的一周内，盛水筒P有多长时间距离水面高度超过4m？

(3)、设t为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 时，盛水筒P到水面的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，当 $t_{1} + t_{2} = 10$ （ $t_{2} > t_{1} \geq 0$ ），且 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{1} d_{2} = 12 (2 + \sqrt{3})$ 时，求 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 的值．

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11、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， $E$ 为线段 $A A_{1}$ 的中点．从条件①②中选择一个作为已知，① $A D ⊥ B E$ ；② $B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求点 $C_{1}$ 到平面 $B C E$ 的距离；

(3)、已知点M在线段 $C C_{1}$ 上，直线EM与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求线段 $C M$ 的长．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B}| = 3$ ， $|\vec{A C}| = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ，且 $B C$ ， $A C$ 边上的两条中线 $A M$ ， $B N$ 相交于点 $P$ .

(1)、求 $|\vec{A P}|$ ；

(2)、求 $∠ M P N$ 的余弦值.

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \sin^{2} \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A (b \cos C + c \cos B)$ ．

(1)、求A；

(2)、若∠BAC的角平分线交BC于点D，且 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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14、已知复数 $z = 3 + m i (m \in R)$ ， $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，且 $z_{1}$ 为纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设 $z$ ， $z^{2}$ 在复平面上对应的点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点．求向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{O B}$ 上的投影向量的模．

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15、如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角 $∠ M A N = 45 °$ ，点C的仰角 $∠ C A B = 30 °$ ，以及 $∠ M A C = 75 °$ ．从点C测得 $∠ M C A = 45 °$ ，已知山高 $B C = 480 \sqrt{3} m$ ，则山高MN=m．

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16、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} =$ ．

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A B_{1}$ 与直线 $D_{1} C_{1}$ 所成角的大小为；平面 $A B C D$ 与平面 $A C B_{1}$ 夹角的余弦值为．

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18、化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式 ${SF}_{6}$ ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体 $E - A B C D - F$ 的（如图2）棱长为2，则（）

A、正八面体 $E - A B C D - F$ 的内切球表面积为 $\frac{8 π}{3}$ B、正八面体 $E - A B C D - F$ 的外接球体积为 $\frac{8 π}{3}$ C、若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若点 $Q$ 为棱 $A F$ 上的动点，则三棱锥 $E - Q B C$ 的体积为定值 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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19、下列命题中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (x, - 6)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 的充要条件是 $x = 4$ B、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个相互垂直的单位向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k = 6$ C、已知正方形 $O A B C$ 的边长为1，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{C A} + \vec{C B}) = 5$ D、若O为四边形 $A B C D$ 所在平面内一点，且 $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，M，N分别为棱AB，AD， $D_{1} C_{1}$ ， $C_{1} B_{1}$ 的中点，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）

A、该截面是六边形 B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F M N$ C、平面 $E F M N / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$ D、该截面过棱 $B B_{1}$ 的一个三等分点

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