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相关试卷

1、在 $Δ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 4, B = 45^{°},$ 若 $(a - b) (\sin A + \sin B) = (c - b) \sin C,$ 则A= ， b=.

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2、总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为.
7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181

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3、一名射击运动员射击一次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各次射击互不影响．若他连续射击两次，则下列说法正确的是（）

A、事件“至多击中一次”与“恰击中一次”互斥 B、事件“两次均未击中”与“至少击中一次”相互对立 C、事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立 D、记 $X$ 为击中目标的次数，则 $E (X) = \frac{2}{3}$ ， $D (X) = \frac{4}{9}$

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4、2024年春晚魔术师刘谦再次重返舞台，利用简单的模具扑克牌向观众再次展示了魔术的魅力与神奇.某魔术师在表演时将8张不同色号的扑克牌分给3名观众，每个观众被分到的扑克牌数目不少于2张，且3名观众中没有人被分到3张扑克牌，则不同的分配方法有（）

A、2520种 B、1260种 C、420种 D、210种

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5、若直线 $y = 2 x - 1$ 与双曲线 $C : x^{2} - m y^{2} = 1$ 的一条渐近线平行，则实数 $m$ 的值为：（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $\sqrt{S_{n}} = n - 1$ ，则 $a_{7} + a_{8} =$ （）

A、11 B、13 C、24 D、25

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7、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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8、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 4 \geq 0\}, B = \{x| x < 1\}, A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 2\}$ B、 $\{x| x \leq - 2,$ 或 $x \geq 1\}$ C、 $\{x| 1 \leq x \leq 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 1\}$

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9、对于分别定义在 $D_{1}, D_{2}$ 上的函数 $f (x), g (x)$ 以及实数 $k$ ，若任取 $x_{1} \in D_{1}$ ，存在 $x_{2} \in D_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + g (x_{2}) = k$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (k)$ .其中 $x_{2}$ 称为 $x_{1}$ 的像.

(1)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in R; g (x) = 3 cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in R$ ，判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否具有关系 $M (- 6)$ ，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3}), x \in [0, \frac{π}{3}]; g (x) = 3 \sqrt{3} cos (3 x + \frac{π}{6}), x \in [0, π]$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 具有关系 $M (\frac{5 \sqrt{3}}{2})$ ，求 $x_{1} = \frac{π}{6}$ 的像.

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10、已知在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B$ ，点 $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 的延长线上，且 $C_{1} E = \frac{1}{3} C E$ .

(1)、证明： $A C_{1} //$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $B - D E - C$ 的正切值.

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11、智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从 $500$ 名手机使用者中随机抽取 $100$ 名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示)，其分组是： $[0, 20], (20, 40]$ ， $(40, 60], (60, 80], (80, 100]$ .
（1）根据频率分布直方图，估计这 $500$ 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)
（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
（3）在抽取的 $100$ 名手机使用者中在 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 中按比例分别抽取 $2$ 人和 $3$ 人组成研究小组，然后再从研究小组中选出 $2$ 名组长.求这 $2$ 名组长分别选自 $(20, 40]$ 和 $(40, 60]$ 的概率是多少？

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12、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中， $a = 8$ ， $\tan A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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13、（1）求 $\frac{\sqrt{1 - 2 \sin 40 ° \cos 40 °}}{\sqrt{1 - \sin^{2} 50 °} + \cos 140 °}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\sin^{2} θ + \sin θ \cos θ$ 的值．

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14、对定义在非空集合 $I$ 上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + b (k, b \in R)$ ，俄国数学家切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|, x \in I$ 的最大值称为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”.若 $f (x) = x^{2}, x \in [- 1, 1]$ ， $g (x) = x + 1$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”为.

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15、已知球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，球心 $O$ 到球内一点 $P$ 的距离为1，则过点 $P$ 的截面的面积的最小值为．

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16、计算 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + π^{\lg 1} + \log_{2} \frac{2}{3} - \log_{4} \frac{16}{9} =$ ．

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17、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 满足 $f (x) = g (x + 1) + 1$ ，且 $f (1 - x) + g (x + 1) = 1$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (4) = f (- 2)$ B、 $g (\frac{3}{2}) = 0$ C、 $g (1 - x) = g (1 + x)$ D、 $f (x)$ 的图象关于原点对称

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18、如图，在三棱锥P-ABC中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C, P A = A B, D 为 P B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B C ⊥$ 平面 $P A B$ B、 $A D ⊥ P C$ C、 $A D ⊥$ 平面 $P B C$ D、 $P B ⊥$ 平面 $A D C$

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19、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且当 $x_{2} > x_{1} \geq 1$ 时，恒有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，则不等式 $f (x - 1) > f (2 x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(- 2, \frac{2}{3})$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$

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20、如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为 $2 \sqrt{5}$ ，则此圆锥的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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