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相关试卷

1、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a sin B = \sqrt{3} b cos A$ ．

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b, c$ ．

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2、如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边与单位圆 $O$ 分别交于 $P 、 Q$ 两点，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ．

(1)、求 $sin α - sin β$ 的值；

(2)、求 $tan 2 β$ 的值．

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3、已知三角形 $A B C$ 是边长为2的等边三角形．如图，将三角形 $A B C$ 的顶点A与原点重合． $A B$ 在 $x$ 轴上，然后将三角形沿着 $x$ 轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到 $x$ 轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是 $\frac{8 π}{3}$ ；
④完成一个周期，顶点A的轨迹与 $x$ 轴围成的面积是 $\frac{8 π}{3} + \sqrt{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ A = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径为.

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6、若 $\tan θ = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 θ =$ .

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7、化简 $cos (\frac{π}{2} + α) =$

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8、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 2$ ，则下列命题：
① $\vec{O B} \cdot \vec{O E} = - \sqrt{2}$ ；
② $\vec{O A} + \vec{O C} = - \sqrt{2} \vec{O F}$ ；
③ $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O B}$ ；
④若点 $P$ 为正八边形边上的一个动点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为4．
其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，下列结论错误的是（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$

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10、函数 $y = A sin (ω x - φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x - \frac{π}{3})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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11、古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 $\cot θ = \frac{1}{\tan θ}$ ，正割函数 $\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$ ，余割函数 $\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$ ，正矢函数 $v e r \sin θ = 1 - \cos θ$ ，余矢函数 $v e r \cos θ = 1 - \sin θ$ .如图角 $θ$ 始边为 $x$ 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点 $P$ ， $A$ 、 $B$ 分别是单位圆与 $x$ 轴和 $y$ 轴正半轴的交点，过点 $P$ 作 $P M$ 垂直 $x$ 轴，作 $P N$ 垂直 $y$ 轴，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线分别交 $θ$ 的终边于 $T$ 、 $S$ ，其中 $A M$ 、 $P S$ 、 $B S$ 、 $N B$ 为有向线段，下列表示正确的是（）

A、 $v e r \sin θ = A M$ B、 $\csc θ = P S$ C、 $\cot θ = B S$ D、 $\sec θ = N B$

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12、在 $△ A B C$ 中，已知 $2 \sin A \cos B = \sin C$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、正三角形

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3), \vec{a} - \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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14、复数 $\frac{1+3i}{3+i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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16、与 $- 224^{\circ}$ 角终边相同的角是（）

A、 $24^{\circ}$ B、 $113^{\circ}$ C、 $124^{\circ}$ D、 $136^{\circ}$

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17、如图，在长方形 $S A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $\vec{S D} = λ \vec{S C} (\frac{\sqrt{3}}{3} < λ < 1)$ ，将 $△ S A D$ 沿 $A D$ 折起至 $△ S^{'} A D$ ，使平面 $S^{'} A B$ $⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $B C$ $⊥$ 平面 $S^{'} A B$ ；

(2)、若二面角 $S^{'} - A D - B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ，求 $S D$ 的长；

(3)、设直线 $B C$ 与平面 $S^{'} A D$ 所成的角为 $θ_{1}$ ，二面角 $S^{'} - A D - B$ 的平面角为 $θ_{2}$ ，证明： $\cos 2 θ_{1} + \frac{1}{\cos θ_{2}} \geq 2 \sqrt{2} - 1$ .
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

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18、为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示， $△ A C D$ 区域规划为游客餐饮服务区， $△ C D E$ 区域规划为微型游乐场， $△ B C E$ 区域规划为网红打卡区. 已知 $A C ⊥ B C$ ， $A C = 10$ m， $B C = 10 \sqrt{3}$ m， $∠ D C E = \frac{π}{6}$ ，

(1)、若 $C D = 5 \sqrt{3}$ m，求 $D E$ 的长；

(2)、若 $A D \cdot A E = 100 m^{2}$ ，求 $∠ A C D$ 的值；

(3)、求微型游乐场 $△ C D E$ 面积的最小值.

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19、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中， $A B / / C D$ ， $B D ⊥ B F$ ，平面 $A B F E$ $\cap$ 平面 $C D E F = E F$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $E F = 3$ ， $∠ B A D = ∠ D A E = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若点 $O$ 、 $G$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 的中点，证明：平面 $E O G F$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

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20、已知振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移 $y = f (t)$ 随时间 $t$ 的变化规律可以用函数 $f (t) = A \sin (ω t + φ)$ $(A, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 来刻画，已知位移 $y = f (t)$ 部分图象如图所示.

(1)、求该振子在单位时间内往复运动的次数和 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、将 $y = f (t)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到 $y = g (t)$ ，求 $y = g (t)$ 在 $[\frac{5}{24}, \frac{1}{2}]$ 上的值域.

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