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相关试卷

1、已知复数 $z = a + 2 + (a^{2} + a - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ .

(1)、若在复平面内复数 $z$ 位于第二象限，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时， $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的一个根，求 $\bar{z}$ 和 $n - m$ 的值.

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2、已知在四面体 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 2$ ， $P B = A C = \sqrt{7}$ ， $P C = A B = \sqrt{5}$ ， $\vec{P M} = \vec{M C}$ ， $\vec{A N} = \vec{N B}$ ，平面 $β$ 满足 $M N ⊥ β$ ，记平面 $β$ 截得该四面体 $P - A B C$ 的多边形的面积为 $S$ ，则 $S$ 的最大值为.

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3、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = 2$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一点，记 $△ A B D$ 、 $△ A D C$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，若 $b \cdot S_{1} = 2 S_{2}$ ，则 $A D =$ .

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, x)$ ，向量 $\vec{b} = (2, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $x$ 的值为.

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5、已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， A是 $l_{1}, l_{2}$ 之间的一定点并且点A到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为1，2，B是直线 $l_{1}$ 上一动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使AC与直线 $l_{2}$ 交于点C， $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 面积的最小值为 $2$ B、点 $G$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为定值 C、当 $|\vec{G B}| = |\vec{G C}|$ 时， $△ G A B$ 的外接圆半径为 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\vec{G B} \cdot \vec{G C}$ 的最大值为 $- 2$

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，现将 $△ C D E$ 沿 $C D$ 翻折至 $△ C D E^{'}$ ， $E^{'} \notin$ 平面 $A B C$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $E^{'} B ⊥ E^{'} D$ B、三棱锥 $E^{'} - C D E$ 体积的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、当 $E^{'} B = \sqrt{3}$ ，直线 $A E^{'}$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若二面角 $E^{'} - C D - A$ 的平面角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $B E^{'} = 2$

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C + 2 c cos B = 3$ ， $3 sin (B + C) = 2 {sin}^{2} \frac{A}{2}$ ，则（）

A、 $a = \frac{3}{2}$ B、 $tan \frac{A}{2} = 3$ C、 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、 $b c$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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8、已知函数 $f (x) = 4 \sin x - 4 \sin^{3} x - a \sin 2 x - 2 a \cos^{2} x + 2 a^{2} \cos x (a \in R)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 上成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [1, + \infty)$

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9、如图所示，已知在三棱锥 $A - B C D$ 中，二面角 $A - B D - C$ 为直二面角， $B C ⊥ C D$ ， $B C = C D = \sqrt{3}$ ， $A B = A D = \sqrt{2}$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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10、已知函数 $f (x) = - \cos 3 x$ 和 $g (x) = \sin (x - \frac{π}{6})$ ，则这两个函数图象在 $x \in [0, 2 π]$ 的交点个数为（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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11、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $△ A B C$ 是边长为 $1$ 的正三角形，若 $S A = B C$ ，则点 $A$ 到平面 $S B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{21}}{7}$

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12、已知两条不同的直线 $m, n$ ，三个不同的平面 $α, β, γ$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ B、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ γ$ ， $n ⊥ γ$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α / / γ$

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13、如图所示，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{3} A B$ ，则异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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14、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，以该矩形的边 $A D$ 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的空间几何体的表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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15、如图，四边形 $O A B C$ 在斜二测画法下得到平行四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2$ ， $O^{'} C^{'} = 1$ ，则该四边形 $O A B C$ 的周长为（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8$

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16、已知 $P (x, y)$ 在曲线 $C$ ： $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 x + 1} = 4$ 上，直线 $y = k x$ 交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、当 $P$ 不在直线 $A B$ 上时，试问 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ ( $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ 分别为 $P A$ ， $P B$ 的斜率)是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $O P ⊥ A B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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17、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为 $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥ P A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $P A_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} + b_{n} = 2 n + 1$ ， $a_{n} b_{n} = 2^{- n}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ ．

(1)、判断数列 $\{c_{n}\}$ 的单调性；

(2)、求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19、党的二十大报告提出：“全方位夯实粮食安全根基，牢牢守住十八亿亩耕地红线，确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中.”粮食事关国运民生，粮食安全是“国之大者”，与社会和谐、政治稳定、经济持续发展等息息相关，粮稳则天下安.现有某品种杂交水稻，从中随机抽取15株作为样本进行观测，并记录每株水稻的生长周期(单位：天)，按从小到大排序结果如下：
93 97 98 101 103 104 107 108 109 110 112 116 121 124 126
已知这组样本数据的 $10 %$ 分位数、 $80 %$ 分位数分别为 $a, b$ .

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、在某科研任务中，把该品种所有生长周期位于区间 $(a, b)$ 的稻株记为“高产稻株”，其余记为“低产稻株”.现从该品种水稻中随机抽取3株，设其中高产稻株有 $X$ 株，求 $X$ 的分布列与数学期望（以样本中高产稻株的频率作为该品种水稻的一株稻株属于高产稻株的概率）.

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 经过点 $F$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点， $M, N$ 两点在 $C$ 的准线上的射影分别为 $A, B$ ，且 $△ M A F$ 的面积是 $△ N B F$ 的面积的4倍，若 $y$ 轴被以 $M N$ 为直径的圆截得的弦长为 $\sqrt{7}$ ，则 $p$ 的值为．

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