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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为4，D是AB的中点．

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} D C$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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2、在平面直角坐标系中，定义 $d (A, B) = \max \{|x_{1} - x_{2}|, |y_{1} - y_{2}|\}$ 为两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 的“切比雪夫距离”，又设点 $P$ 与直线 $l$ 上任意一点 $Q$ ，称 $d (P, Q)$ 的最小值为点 $P$ 与直线 $l$ 间的“切比雪夫距离”，记作 $d (P, l)$ ，给定下列两个命题：
①已知点 $P (3, 1)$ ，直线 $l : 2 x - y - 1 = 0$ ，则 $d (P, l) = \frac{4}{3}$ ；
②定点 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|d (P, F_{1}) - d (P, F_{2})| = 2 a (2 c > 2 a > 0)$ 则点 $P$ 的轨迹与直线 $y = k$ （ $k$ 为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（）

A、命题①成立，命题②不成立 B、命题①不成立，命题②成立 C、命题①②都成立 D、命题①②都不成立

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ ．若存在 $t_{1}$ ， $t_{2} \in [- π, 2 π]$ ，使得 $f (t_{1}) f (t_{2}) = 4$ ，则 $t_{1} - t_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3π}{2}$ D、 $2 π$

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4、已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面 $α$ ， $β$ ，则（）

A、若 $α$ ∥ $β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ ∥ $n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n$ ∥ $α$ D、若 $α \cap β = n$ ， $m \subset α$ ， $m$ ∥ $β$ ，则 $m$ ∥ $n$

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5、某校高一年级 $18$ 个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得 $10$ 个班的比赛得分如下： $91, 89, 90, 92, 94, 87, 93, 96, 91, 85$ ，则这组数据的 $75 %$ 分位数为（）

A、 $93$ B、 $93.5$ C、 $94$ D、 $94.5$

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6、定义：对于函数 $f (x)$ 和数列 $\{x_{n}\}$ ，若 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”.已知二次函数 $f (x)$ 图象的最低点为 $(0, - 4)$ ，且 $f (x + 1) = f (x) + 2 x + 1$ ，若数列 $\{x_{n}\}$ 具有“ $f (x)$ 函数性质”，且首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln (x_{n} + 2) - ln (x_{n} - 2)$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 $\{S_{n} \cdot (\frac{n}{2} - 5)\}$ 的最小值为.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x, 0 \leq x \leq 1, \\ l n x, x > 1, \end{matrix}$ 若存在实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{2} - 6 x_{1}$ 的取值范围为.

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $f (x) = {log}_{2} (- x)$ ，则函数 $g (x) = f (x) + 2$ 在区间 $(- 1, 8)$ 内所有零点之和为．

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9、在一座尖塔的正南方向地面某点 $A$ ，测得塔顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，又在此尖塔北偏东 $30^{\circ}$ 地面某点 $B$ ，测得塔顶的仰角为 $45^{\circ}$ ，且 $A$ ， $B$ 两点距离为 $7 m$ ，在线段 $A B$ 上的点 $C$ 处测得塔顶的仰角为最大，则 $C$ 点到塔底 $O$ 的距离为m.

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10、已知点 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点，点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线的左、右焦点，若M为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ P M F_{1}} = S_{△ P M F_{2}} + \frac{1}{2} S_{△ M F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线的离心率为．

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11、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) + \sin α = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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12、圆 $x^{2} + y^{2} + a x +2 a y +2 a^{2} + a −1=0$ 的半径的最大值为.

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13、设 $A = \{x ∣ x^{2} - 5 x + 4 = 0\}, B = \{x ∣ a x - 1 = 0\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的取值集合为.

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14、不等式 $\frac{x}{x^{2} - 4 x + 6} \geq 1$ 的解集为．

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15、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}, |\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$

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16、 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{3}$ 的展开式中，常数项为．

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17、已知a，b均为实数， $(2 + i) (1 + a i) = i (b + i)$ ，则 $a b =$ .

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18、已知直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，点 $P$ 到直线 $l$ 的有向距离 $d (P, l)$ 用如下方法规定：若 $b \neq 0$ ， $d (P, l) = \frac{| b | | a x_{0} + b y_{0} + c |}{b \sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ，若 $b = 0$ ， $d (P, l) = \frac{a x_{0} + c}{a}$ ．

(1)、已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 12 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + 3 = 0$ ，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}, l_{2}$ 的有向距离 $d (O, l_{1}), d (O, l_{2})$ ；

(2)、已知点 $A (2, 1)$ 和点 $B (3, - 1)$ ，是否存在通过点 $A$ 的直线 $l_{3}$ ，使得 $d (B, l_{3}) = 2$ ？如果存在，求出所有这样的直线 $l_{3}$ ，如果不存在，说明理由；

(3)、设直线 $l_{4} : x \cos α + 2 y \sin α - 2 = 0$ ，问是否存在实数 $t > 0$ ，使得对任意的参数 $α$ 都有：点 $F_{1} (- t, 0), F_{2} (t, 0)$ 到 $l_{4}$ 的有向距离 $d (F_{1}, l_{4}), d (F_{2}, l_{4})$ 满足 $d (F_{1}, l_{4}) \cdot d (F_{2}, l_{4}) = 1$ ？如果满足，求出所有满足条件的实数 $t$ ；如果不存在，请说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} + a}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 3$ 的解集；

(3)、设函数 $g (x) = \log_{2} \frac{x}{2} \cdot \log_{2} \frac{x}{4} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2, 8]$ ，总存在 $x_{2} \in (0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、如图，某城市为升级沿河直线绿道 $A B$ 的沿途风景，计划在以 $A B$ 为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林 $C D E F$ （ $C$ ， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ ， $F$ 在半圆上， $O$ 为圆心），已知 $A B$ 全长 $160 m$ .

(1)、求枫叶林 $C D E F$ 面积的最大值；

(2)、为方便游客休憩打卡，计划在 $A B$ 的另一侧修建观景木质栈道 $A - G - B$ ，已知 $A G$ 段每米的造价为 $a$ 元， $B G$ 段每米的造价是 $A G$ 段的两倍， $∠ A G B = \frac{π}{3}$ ，求修建观景木质栈道 $A - G - B$ 所需的费用最多为多少元（结果用 $a$ 表示）.

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